Hányadoskritériumot tudsz használni:
an+1/an = (n+1)! / n! ·(1+x)(1+2x)...(1+nx) / (1+x)(1+2x)...(1+(n+1)x)
= (n+1) / (1 + (n+1)x)
A többi tényező kiejtette egymást.
= 1 / (1/(n+1) + x)
aminek a határértéke 1/x, annak kellene 1-nél kisebbnek lennie.
Vagyis x>1 esetén konvergens, x<1-nél divergens.

x=1-re külön kell megnézni:
Ekkor a szumma ilyenekre megy:
n! / 2·3·...(n+1)
ami 1/(n+1)
Ez 0-hoz tart, tehát a szükséges feltétel teljesül, de ez lesz a szumma:
1/2 + 1/3 + 1/4 + ... a végtelenségig
Azt pedig tudjuk, hogy szumma 1/n divergens.