Definíció szerint, amiket most megadtál szerintem azok mértani sorok. A mértani sorok akkor konvergensek, ha az alapképletben szereplő n-edik hatványra emelt tag abszolút értéke kisebb mint 1. Képlettel: Jelöljük ezt a tagot q-val: qn Az abszolút érték jel hiányában:
abszolút érték q<1
A mértani sor akkor divergens ha, abszolút érték q≥1

Az első képen található mértani sorban találunk n-edikre emelt tagot, ami jelen esetben -1.
Ennek abszolút értéke 1. Mivel q=1, ezért a sor jelen esetben divergens, mert 1≥1 teljesül és ekkor a sor divergens, tehát a sor nem konvergens!

A második képen ugyan ez a helyzet, itt is q=-1, ennek abszolút értéke 1. Tehát ez a sor is divergens!
A harmadik képen lévő feladatot nem tudom sajnos.

Az első kettő nem mértani.
Ezek alternáló sorok (felváltva pozitív és negatív), azoknál az kell a konvergenciához, hogy:
- az abszolút érték egyre csökkenjen
- a sorozat nullához tartson.

A harmadiknak nincs köze az e-hez, mert az e az egy hasonló sorozat határértéke, nem pedig szummája.
Itt a gyökkritériumot lehet nézni:
n√ an  = 1/n + x
Ennek a határértéke x.
Ezért a gyökkritérium szerint |x| < 1 esetén konvergens, |x| > 1 esetén divergens a sor.
Ha x=1, akkor nem ad eredményt a gyökkritérium, akkor mást kell nézni:
Ha egy sor konvergens, akkor az elemeinek a határértéke nulla. (Visszafelé ez nem feltétlenül igaz!) Most a lim (1/n + 1)n = e, ez nem nulla, tehát x=1-nél biztos nem lehet konvergens a sor, szóval divergens.

Ja, meg kell nézni még x=-1 esetére is.
(1/n - 1)^n határértéke nem nulla, tehát akkor is divergens.
Honnan lehet tudni, hogy nem 0? Így lehet átírni:
lim ((-1)(1 - 1/n))^n = lim (-1)^n (1 - 1/n)^n
Ha n csupa pozitív, akkor ez 1/e-hez tart, ha pedig negatív, akkor -1/e-hez. Vagyis nem is konvergens, tehát tuti nem tart 0-hoz (ami szükséges feltétel lenne ahhoz, hogy a szummának esélye legyen arra, hogy konvergáljon). Tehát a szumma tuti divergál.