1)
Az arany sűrűsége:
ρ = 19,32 kg/dm³ = 19,32 g/cm³
Vagyis 19,32 g aranyról van szó.

Az arany atomsúlya 197 g/mol, tehát ennyi mol van az 1 grammban:
n = 19,32 g / 197 g/mol = 0,098 mol
Ami ennyi darab atom:
N = 0,098 · 6·10²³ = 5,88·10²²

Az arany atomsugarára 135 és 174 pikométer közötti adatokat találtam. Mondjuk számoljunk a Van der Waals sugárral, az 166 pm.
Szóval két atom 2·166 = 332 pm távolságra van egymástól, akkor az egyatomos cérnaszál hossza:
5,88·10²² · 332·10⁻¹² m = 1,95·10¹³ m

A fény ekkora távolságot 18 óra alatt tesz meg! Ez a Nap-Föld távolság 130-szorosa.

2)
Azt is hasonlóan számold, csak a darabszám gyöke lesz a négyzet oldala, de aztán annak a négyzete lesz a felület (tehát formálisan nem is kell gyököt vonni és négyzetre emelni, csak méter helyett m²-t kell írni.)

3)
A homokszem vehető gömbnek.
Közel hexagonális alakban lesznek elrendezve, de inkább számoljunk úgy, mintha egy kocka csúcsaiban lennének csak a homokszemek, úgy egyszerűbb számolni.
A = 7,8·10⁶ km² = 7,8·10¹² m²
h = 10 m
V = 78·10¹² m³

r = 0,5 mm
ezért 1 mm-enként van egy homokszem. Vagyis egy homokszem 1 mm³ helyet foglal el.
V = 78·10¹² m³ = 78·10¹⁸ mm³
Tehát kb. 78·10¹⁸ darab homokszem van a Szaharában.
Ha 6·10²³ darab lenne, akkor lenne 1 mol.
n = 78·10¹⁸ / 6·10²³ = 13·10⁻⁵ = 0,00013 mol