Matematika

Ábra

Pitagorasz:

`(2y)^2+(3y)^2=(2x+2)^2`

`13y^2` = `(2x+2)^2`

A hasonló háromszögekben az arányok: (A kis belső háromszögben és a nagyban)

`(2y)/x` = `(2x+2)/(2y)` = `(x+1)/y`

`2y^2` = x(x+1)

`13y^2` = `6.5x(x+1)`

6,5x(x+1) = `(2x+2)^2`

`6,5x^2+6,5x` = `4x^2+8x+4`

`2.5x^2-1.5x-4` = 0

x = `8/5`

Az átfogó a kérdés:

c = 2x+2 = `2*8/5+2` = `26/5` cm

Stimmel az, csak lemaradt egy kettes az elején, javítva.

Nekem így sem stimmel:

Úgy tűnik, ez a jó eredmény: A befogó-tételt felírva:
(2y)2=x (2x+2)
(3y)2=(x+2) (2x+2). Ezt az egyenletrendszert megoldva:
(a második egyenletet osztva az elsővel) x = 1.6.
Ebből: c = 5.2 cm.

Befogók legyenek : a és b
Ekkor: a : b = 3 : 2
a = 3x
b = 2x
Felírjuk a háromszög oldalaira Pitagorasz-tételét:
a2 + b2 = c2
(3x)2 + (2x)2 = c2
9x2 + 4x2 = c2
13x2 = c2
c = √ 13 x

Az átfogó két szelete legyen: p és q. (p az a melletti szelet, q pedig a b melletti szelet)
Akkor p = q + 2

Felírjuk a-ra a befogó-tételt:
a = √ c * p 
a2 = c * p
(3x)2 = √ 13 x *(q + 2)
9x2 = √ 13 x * (q + 2) /: x
9x = √ 13  * (q + 2)
I. 9x = √ 13  * q + 2√ 13 

Felírjuk b-re a befogó-tételt:
b = √ c * q 
b2 = c * q
(2x)2 = √ 13 x * q
4x2 = √ 13 x * q /: x
II. 4x = √ 13  * q
A II. egyenletet behelyettesítjük I- egyenletbe (√ 13  * q helyére):
9x = 4x + 2√ 13 
5x = 2√ 13 
x = (2√ 13 ) / 5

Végül x-et visszahelyettesítjük c-be:
c = √ 13  * (2√ 13  /5) = (2 * 13) / 5 = 26/5 = 5,2 cm
A háromszög átfogója 5,2 cm-es.

Kicsit kevesebb kacskaringóval...

Legyen
a, b - a háromszög befogói (a < b)
c - a háromszög átfogója
ca,cb - a befogók vetülete az átfogón
n = a/b - a befogók hányadosa
Feltétel
n = 2/3
cb = ca + 2
Feladat
c = ?
-----------------------------
Befogó tétel szerint
a² = c*ca
b² = c*cb
A két egyenlet hányadosa
(a/b)² = ca/cb
n² = ca/(ca + 2)
Ebből
ca = 2n²/(1 - n²)
******************
Ezzel
cb = ca + 2
cb = 2/(1 - n²)
****************
Ezekkel
c = ca + cb
c = 2(1 + n² )/(1 - n²)
************************
Behelyettesítve
ca = 8/5 = 1,6
cb = 18/5 = 3,6
c = 26/5 = 5,2
================