z = a + i·b

Re(z) = a
z konjugáltja = a - i·b
annak négyzete = a² - 2ab·i - b²
|z|² = a²+b²
Im(z) = b

Szóval:
a²·i + 2·(a²-b² - 2ab·i) = a²+b² - b
(a² - 4ab)·i + a² - 3b² + b = 0

Ez csak úgy lehet 0, ha:
(1) a² - 4ab = 0
és
(2) a² - 3b² + b = 0
===
(1)-ből:
a(a-4b) = 0

1) a = 0
Ekkor (2)-ből:
b -3b² = 0
b(1- 3b) = 0
Az egyik megoldás b=0 lesz, a másik b = 1/3
z₁ = 0 + i·0
z₂ = 0 + i·1/3

2) a=4b
Ekkor (2)-ből:
(4b)² - 3b² + b = 0
13b² + b = 0
b·(13b+1) = 0
Egyik gyök b=0, amihez a=0 tartozik, de az már volt 1)-ben
Másik: b = -1/13, a=-4/13
z₃ = -1/13 - i·4/13

Ez az z₁ z₂ és z₃ gyökök a megoldások.