Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek SOS
Anna868
kérdése
1119
1) egy mértani sorozat első tagja 8, az első három tag összege 78. Mennyi az első hat tag összege?
2) egy mértani sorozat ötödik tagja -12, tizedik tagja 12. Mennyi az első húsz tag összege?
3)melyik az a mértani sorozat, amelyben az első és a második tag összege 48, a harmadik és a negyedik tag összege pedig 12?
4) tizenkét év alatt minden év elején 200000 Ft-ot teszünk a takarékba, évi 5%-os kamatra.
Mennyi pénzünk lez tizenkettedik év végén?
5) egy új gép ára 3000000 Ft. Elhasználódás és elavulás miatt évenkénti 12%-os értékcsökkenést gigyelembe véve, mennyit ér a gép öt év múlva? Hány év múlva csökken a gép értéke az eredeti ár ötödére?
2) egy mértani sorozat ötödik tagja -12, tizedik tagja 12. Mennyi az első húsz tag összege?
3)melyik az a mértani sorozat, amelyben az első és a második tag összege 48, a harmadik és a negyedik tag összege pedig 12?
4) tizenkét év alatt minden év elején 200000 Ft-ot teszünk a takarékba, évi 5%-os kamatra.
Mennyi pénzünk lez tizenkettedik év végén?
5) egy új gép ára 3000000 Ft. Elhasználódás és elavulás miatt évenkénti 12%-os értékcsökkenést gigyelembe véve, mennyit ér a gép öt év múlva? Hány év múlva csökken a gép értéke az eredeti ár ötödére?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
5
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
válasza
1. feladat:
a1 = 8
S3 = 78
S6 = ?
S3 = a1 * (q3 - 1 ) / (q - 1)
78 = 8 * (q3 - 1) / (q - 1) /: 8
9,75 = [(q - 1) * (q2 + q + 1)] / (q - 1)
9,75 = q2 + q + 1
0 = q2 + q - 8,75
D = 12 - 4 * 1 * (-8,75) = 1 + 35 = 36 = 62
q1,2 = (-1 ± 6) / 2
q1 = (-1 + 6) / 2 = 5 / 2 = 2,5
q2 = (-1 - 6) / 2 = -7 / 2 = -3,5
Két ilyen mértani sorozat van.
I. sorozat: a1 = 8 és q = 2,5 , ekkor
S6 = a1 * (q6 - 1) / (q - 1) = 8 * (2,56 - 1) / (2,5 - 1) = 8 * (15561/64) / (1,5) = 5187/4
II. sorozat: a1 = 8 és q = -3,5 , ekkor
S6 = a1 * (q6 - 1) / (q - 1) = 8 * ((-3.5)6 - 1) / (-3,5 - 1) = 8 * (117585/64) / (-4,5) = -13065/4
a1 = 8
S3 = 78
S6 = ?
S3 = a1 * (q3 - 1 ) / (q - 1)
78 = 8 * (q3 - 1) / (q - 1) /: 8
9,75 = [(q - 1) * (q2 + q + 1)] / (q - 1)
9,75 = q2 + q + 1
0 = q2 + q - 8,75
D = 12 - 4 * 1 * (-8,75) = 1 + 35 = 36 = 62
q1,2 = (-1 ± 6) / 2
q1 = (-1 + 6) / 2 = 5 / 2 = 2,5
q2 = (-1 - 6) / 2 = -7 / 2 = -3,5
Két ilyen mértani sorozat van.
I. sorozat: a1 = 8 és q = 2,5 , ekkor
S6 = a1 * (q6 - 1) / (q - 1) = 8 * (2,56 - 1) / (2,5 - 1) = 8 * (15561/64) / (1,5) = 5187/4
II. sorozat: a1 = 8 és q = -3,5 , ekkor
S6 = a1 * (q6 - 1) / (q - 1) = 8 * ((-3.5)6 - 1) / (-3,5 - 1) = 8 * (117585/64) / (-4,5) = -13065/4
0
- Még nem érkezett komment!
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
válasza
2. feladat:
a5 = -12
a10 = 12
S20 = ?
A mértanoói sorozat definiciója miatt: (szomszédos tagok hányadosa állandó)
a5 = a1 * q4
a10 = a1 * q9
Azaz:
I. a1 * q4 = -12
II. a1 * q9 = 12
A II. egyenletet elosztjuk az I. egyenlettel, akkor a bal oldalon a1 kiesik, marad, hogy
q9 / q4 = 12 / (-12)
q5 = -1
q = 5√ -1 = -1
Visszahelyettesítünk az I. egyenletbe:
a1 * (-1)4 = 12
a1 * 1 = 12
a1 = 12
S20 = a1 * (q20 - 1) / (q - 1)
S20 = 12 * ((-1)20 - 1) / (-1 - 1) = 12 * (1 - 1) / (-2) = 12 * 0 = 0
Az első 20 tag összege 0.
Megjegyzés: Igazából ezt nem kellet volna így levezetni, mivel q = -1 azt jelenti, hogy ez egy váltakozó előjelű sorozat, vagyis páratlan számú tagjának összege egyenlő az első taggal, páros számú tag összege pedig mindig 0.
De ez a levezetés kell minden más esetben.
a5 = -12
a10 = 12
S20 = ?
A mértanoói sorozat definiciója miatt: (szomszédos tagok hányadosa állandó)
a5 = a1 * q4
a10 = a1 * q9
Azaz:
I. a1 * q4 = -12
II. a1 * q9 = 12
A II. egyenletet elosztjuk az I. egyenlettel, akkor a bal oldalon a1 kiesik, marad, hogy
q9 / q4 = 12 / (-12)
q5 = -1
q = 5√ -1 = -1
Visszahelyettesítünk az I. egyenletbe:
a1 * (-1)4 = 12
a1 * 1 = 12
a1 = 12
S20 = a1 * (q20 - 1) / (q - 1)
S20 = 12 * ((-1)20 - 1) / (-1 - 1) = 12 * (1 - 1) / (-2) = 12 * 0 = 0
Az első 20 tag összege 0.
Megjegyzés: Igazából ezt nem kellet volna így levezetni, mivel q = -1 azt jelenti, hogy ez egy váltakozó előjelű sorozat, vagyis páratlan számú tagjának összege egyenlő az első taggal, páros számú tag összege pedig mindig 0.
De ez a levezetés kell minden más esetben.
0
- Még nem érkezett komment!
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
válasza
3. feladat:
I. a1 + a2 = 48
II. a3 + a4 = 12
Minden tagot felírunk a1 segítségével:
I. a1 + a1 * q = 48
II. a1 * q2 + a1 * q3 = 12
Mindkét egyenletben kiemelünk:
I. a1 * (1 + q) = 48
II. a1 * q2 * (1 + q) = 12
A II. egyenletet elosztjuk I. egyenlettel:
q2 = 12/48 = 1/4
q = √ 1/4 = 1/2 = 0,5
q-t visszahelyettesítjük az I. egyenletbe:
a1 * (1 + 0,5) = 48
1,5a1 = 48
a1 = 32
Tehát a keresett sorozat: a1 = 32 és q = 0,5
I. a1 + a2 = 48
II. a3 + a4 = 12
Minden tagot felírunk a1 segítségével:
I. a1 + a1 * q = 48
II. a1 * q2 + a1 * q3 = 12
Mindkét egyenletben kiemelünk:
I. a1 * (1 + q) = 48
II. a1 * q2 * (1 + q) = 12
A II. egyenletet elosztjuk I. egyenlettel:
q2 = 12/48 = 1/4
q = √ 1/4 = 1/2 = 0,5
q-t visszahelyettesítjük az I. egyenletbe:
a1 * (1 + 0,5) = 48
1,5a1 = 48
a1 = 32
Tehát a keresett sorozat: a1 = 32 és q = 0,5
0
- Még nem érkezett komment!
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
válasza
4. feladat:
Gyűjtőjáradék:
a = 200000 Ft
p = 5 % = 0,05
q = 1 + 0,05 =1,05
n = 12 év
A gyűjtőjáradék képlete:
Sn = a * q * [ (qn - 1) / ( q-1) ]
S12 = 200000 * 1,05 * [ (1,0512 - 1) / (1,05 - 1) ]
S12 = 210000 * 15,917 = 3342597 Ft-unk lesz a 12. év végén.
Gyűjtőjáradék:
a = 200000 Ft
p = 5 % = 0,05
q = 1 + 0,05 =1,05
n = 12 év
A gyűjtőjáradék képlete:
Sn = a * q * [ (qn - 1) / ( q-1) ]
S12 = 200000 * 1,05 * [ (1,0512 - 1) / (1,05 - 1) ]
S12 = 210000 * 15,917 = 3342597 Ft-unk lesz a 12. év végén.
0
- Még nem érkezett komment!
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
megoldása
5. feladat:
Amortizáció:
T0 = 3000000 Ft
p = 12 %
n = 5 év
T5 = T0 * [ (100 - p) / 100 ]5
T5 = 3000000 * [ (100 - 12) / 100 ]5 = 3000000 * 0,885 = 1583196 Ft-ot ér a gép 5 év múlva.
Eredeti ár ötöde: 3000000 / 5 = 600000 Ft
n = ?
Tn = 600000 Ft
600000 = 3000000 * 0,88n /:3000000
0,2 = 0,88n
Vesszük mégkét oldal 10-es alapú logaritmusát:
lg 0,2 = lg 0,88n
Alkalmazzuk a hatványra vonatkozó logaritmus azonosságot:
lg 0,2 = n * lg 0,88
-0,699 = n * (-0,056) /:(-0,056)
n = 11,95
Tehát 12 év múlva csökken a gép ára az ötödére.
Amortizáció:
T0 = 3000000 Ft
p = 12 %
n = 5 év
T5 = T0 * [ (100 - p) / 100 ]5
T5 = 3000000 * [ (100 - 12) / 100 ]5 = 3000000 * 0,885 = 1583196 Ft-ot ér a gép 5 év múlva.
Eredeti ár ötöde: 3000000 / 5 = 600000 Ft
n = ?
Tn = 600000 Ft
600000 = 3000000 * 0,88n /:3000000
0,2 = 0,88n
Vesszük mégkét oldal 10-es alapú logaritmusát:
lg 0,2 = lg 0,88n
Alkalmazzuk a hatványra vonatkozó logaritmus azonosságot:
lg 0,2 = n * lg 0,88
-0,699 = n * (-0,056) /:(-0,056)
n = 11,95
Tehát 12 év múlva csökken a gép ára az ötödére.
0
- Még nem érkezett komment!