1)
A hányadoskritériumot használva, az an+1/an hányados ennyi:
(1+(n+1)x)/(x+n+1)
= (nx + x+1)/(n + x+1))
= (x + (x+1)/n) / (1 + (x+1)/n)
= (x + A) / (1 + A)
Ez x<1 esetén 1-nél kisebb, tehát akkor konvergens a sor.

x ≥ 1 esetére a kritérium nem mond semmit, ott nem tudom, hogyan kell bizonyítani, hogy nem konvergens.
Illetve tudom: x=1+ε esetén (ε ≥ 0) egyetlen tényező a számlálóban és nevezőben ez:
(1+k(1+ε)) / (1+ε + k) (ahol k≥2)
= (1+k + kε) / (1+k + ε)
ami 1-nél nagyobb vagy egyenlő szám, a minoránsa az 1.
Σ 1 pedig divergens, tehát az eredeti sor is divergens.

3)
Konvergens, mert arctg(n) korlátos (kisebb mint π/2), és 1/(2n + kicsi) nullához tart, valamint |an+1| < |an| (hisz 2n és arctg(n) is monoton nő).

Abszolút konvergencia nem teljesül, mert a nála kisebb (minoráns) Σ 1/(2n+π/2) divergens.