Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Geometria - bizonyítás

43
Bizonyítsuk be, hogy ha egy ABC háromszögben a²=b²+bc, akkor az α a β szögnek a kétszerese.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A koszinusztétel szerint `a^2=b^2+c^2-2bc cos alpha`. Ezt összehasonlítva a feladat állításával, azt kapjuk, hogy `bc=c^2-2bc cos alpha`, amiből `c=b(1+2cos alpha)`.

Egy másik oldalpárra felírt koszinusztétel szerint `b^2=a^2+c^2-2ac cos beta`, átrendezve `a^2=b^2+2ac cos beta - c^2`. Ha ezt is összehasonlítjuk a feladat állításával, akkor azt kapjuk, hogy `bc=2ac cos beta -c^2`, amiből `c=2a cos beta -b`.

Kifejeztük kétféleképpen is a `c` oldalt, tegyük őket egyenlővé:

`b(1+2cos alpha)=2a cos beta -b`

Osszunk le `b`-vel és írjuk be az `a/b` arány helyére a szinusztételt:

`1+2cos alpha=2 a/b cos beta -1`

`1+2cos alpha=2 (sin alpha)/(sin beta) cos beta -1`

Rendezzük át az egyenletet, és használjuk ki a szögek különbségére vonatkozó addíciós tételt:

`1+cos alpha=(sin alpha)/(sin beta) cos beta`

`sin beta+cos alpha sin beta=sin alpha cos beta`

`sin beta=sin alpha cos beta-cos alpha sin beta`

`sin beta = sin(alpha-beta)`

Egyszerű trigonometrikus egyenletet kaptunk. Ennek általános megoldása:

`beta = (alpha-beta) + k*2pi`
vagy
`beta = pi-(alpha-beta) + k*2pi`

Mivel háromszögben vagyunk, minden szög 0 és 180° közé esik, ebben a tartományban pedig az egyetlen megoldás:

`beta = alpha-beta`

`alpha = 2beta`
0