Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Geometria - bizonyítás
Lambi
kérdése
439
Bizonyítsuk be, hogy ha egy ABC háromszögben a²=b²+bc, akkor az α a β szögnek a kétszerese.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
A koszinusztétel szerint `a^2=b^2+c^2-2bc cos alpha`. Ezt összehasonlítva a feladat állításával, azt kapjuk, hogy `bc=c^2-2bc cos alpha`, amiből `c=b(1+2cos alpha)`.
Egy másik oldalpárra felírt koszinusztétel szerint `b^2=a^2+c^2-2ac cos beta`, átrendezve `a^2=b^2+2ac cos beta - c^2`. Ha ezt is összehasonlítjuk a feladat állításával, akkor azt kapjuk, hogy `bc=2ac cos beta -c^2`, amiből `c=2a cos beta -b`.
Kifejeztük kétféleképpen is a `c` oldalt, tegyük őket egyenlővé:
`b(1+2cos alpha)=2a cos beta -b`
Osszunk le `b`-vel és írjuk be az `a/b` arány helyére a szinusztételt:
`1+2cos alpha=2 a/b cos beta -1`
`1+2cos alpha=2 (sin alpha)/(sin beta) cos beta -1`
Rendezzük át az egyenletet, és használjuk ki a szögek különbségére vonatkozó addíciós tételt:
`1+cos alpha=(sin alpha)/(sin beta) cos beta`
`sin beta+cos alpha sin beta=sin alpha cos beta`
`sin beta=sin alpha cos beta-cos alpha sin beta`
`sin beta = sin(alpha-beta)`
Egyszerű trigonometrikus egyenletet kaptunk. Ennek általános megoldása:
`beta = (alpha-beta) + k*2pi`
vagy
`beta = pi-(alpha-beta) + k*2pi`
Mivel háromszögben vagyunk, minden szög 0 és 180° közé esik, ebben a tartományban pedig az egyetlen megoldás:
`beta = alpha-beta`
`alpha = 2beta`
Egy másik oldalpárra felírt koszinusztétel szerint `b^2=a^2+c^2-2ac cos beta`, átrendezve `a^2=b^2+2ac cos beta - c^2`. Ha ezt is összehasonlítjuk a feladat állításával, akkor azt kapjuk, hogy `bc=2ac cos beta -c^2`, amiből `c=2a cos beta -b`.
Kifejeztük kétféleképpen is a `c` oldalt, tegyük őket egyenlővé:
`b(1+2cos alpha)=2a cos beta -b`
Osszunk le `b`-vel és írjuk be az `a/b` arány helyére a szinusztételt:
`1+2cos alpha=2 a/b cos beta -1`
`1+2cos alpha=2 (sin alpha)/(sin beta) cos beta -1`
Rendezzük át az egyenletet, és használjuk ki a szögek különbségére vonatkozó addíciós tételt:
`1+cos alpha=(sin alpha)/(sin beta) cos beta`
`sin beta+cos alpha sin beta=sin alpha cos beta`
`sin beta=sin alpha cos beta-cos alpha sin beta`
`sin beta = sin(alpha-beta)`
Egyszerű trigonometrikus egyenletet kaptunk. Ennek általános megoldása:
`beta = (alpha-beta) + k*2pi`
vagy
`beta = pi-(alpha-beta) + k*2pi`
Mivel háromszögben vagyunk, minden szög 0 és 180° közé esik, ebben a tartományban pedig az egyetlen megoldás:
`beta = alpha-beta`
`alpha = 2beta`
0
- Még nem érkezett komment!