Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Bizonyítás

17
Bizonyítsuk be, hogy 51 szomszédos egész szám összege nem lehet osztója e számok négyzetösszegének.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
51 egymást követő egész szám összege biztosan osztható 3-mal, hiszen mindegyik maradékosztályból 17 darab van, így az 1 maradékot adók párba állathatók a 2 maradékot adókkal.

A négyzetösszegük viszont biztosan nem lesz 3-mal osztható. Ha egy szám 3-mal osztva 0, 1, 2 maradékot ad, akkor a négyzete rendre 0, 1, 1 maradékot ad. Tehát a négyzetösszegben 17 darab nulla maradékú szám lesz és 34 darab 1 maradékú, így a négyzetösszeg 3-mal osztva 1-maradékot fog adni.



Vagy ha jobban szeretsz képletekkel dolgozni, akkor úgy is lehet. Az első `n` pozitív egész szám összege: `(n(n+1))/2`, az első `n` pozitív egész szám négyzetösszege: `(n(n+1)(2n+1))/6`. Legyenek az összegzendő számok most: `a`, `a+1`, ..., `a+50`.

Az összegük:

`51a+(50*51)/2=3*17*(a+25)`

Erről látszik, hogy osztható hárommal.

A négyzetösszegük:

`((a+50)(a+51)(2a+101))/6-((a-1)a(2a-1))/6``=``17*(3 a^2 + 150 a + 2525)`

Itt az első két tag osztható hárommal, a `17*2525` viszont 1 maradékot ad.
0