Szia!

A háromszög területének egyik képlete: T=(a*b*sinγ)/2, helyetteesítsünk be:
40cm2=(10*15*sinγ)/2 /*2
80=150*sinγ /:150
8/15=sinγ (számológéppel visszakeresve γ=32,23⁰, vagy γ=180⁰-32,23⁰=147,77⁰)
Most hogy a γ megvan számoljuk ki a c oldalt cosinus tétellel:
c2=a2+b2-2ab*cosγ
I. megoldás: Ha γ=32,23⁰
c2=102+152-2*10*15*cos32,23⁰
c2=100+225-300*0,8459
c2=325-253,77=71,23, amiből c=8,44cm.

Jöhet az α kiszámolása. Mivel a két oldal közül a kissebbel szemközti szöget ismerjük így nem használhatunk sinus-tételt, marad a cosinus-tétel:
a2=b2+c2-2*b*c*cosα
102=152+8,442-2*15*8,44*cosα
100=225+71,23-253,2*cosα
100=296,23-253,2*cosα /-296,23
-196,23=-253,2*cosα /:(-253,2)
0,775=cosα, amiből α=39,19⁰. β pedig a háromszög belső szögeinek összege képlettel számolható: α+β+γ=180⁰
α+β+γ=180⁰ /behelyettesítve
39,19⁰+β+32,23⁰=180⁰ /összevonás
71,42⁰+β=180⁰ /-71,42⁰
β=108,58⁰
Vagyis a teljes lista: a=10cm, b=15cm, c=8,44cm, α=39,19⁰, β=108,58⁰, γ=32,23⁰

II. megoldás: Ha γ=147,77⁰
c2=102+152-2*10*15*cos147,77⁰
c2=325-300*(-0,8459)=325+253,77=578,77, amiből c=24,06cm

Jöhet az α kiszámolása. Ebben az esetben két oldal közül a nagyobbal szemközti szöget ismerjük, így jöhet a sinus-tétel:
sinα/sinγ=a/c /behelyettesítve
sinα/0,5333=10/24,06 /*0,5333
sinα=0,5333*10/24,06=0,2216, amiből α=12,8⁰. β pedig a háromszög belső szögeinek összege képlettel számolható: α+β+γ=180⁰
12,8⁰+β+147,77⁰=180⁰ /összevonás
160,57⁰+β=180⁰ /-160,57⁰
β=19,43⁰
Vagyis a teljes lista: a=10cm, b=15cm, c=24,06cm, α=12,8⁰, β=19,43⁰, γ=147,77⁰