Az a) feladat megoldása itt: https://ehazi.hu/q/70348
A b) feladat megoldásai itt: https://ehazi.hu/q/70349

Láttuk, hogy a vektorok lineárisan függetlenek, hosszaik és szorzataik pedig:

`||\mathbf{v}_1||=sqrt(1+1+4+0)=sqrt(6)`

`||\mathbf{v}_2||=sqrt(1+9+4+1)=sqrt(15)`

`||\mathbf{v}_3||=sqrt(0+1+4+1)=sqrt(6)`

`\mathbf{v}_1*\mathbf{v}_2=1*1+(-1)*(-3)+2*(-2)+0*1=0`

`\mathbf{v}_1*\mathbf{v}_3=1*0+(-1)*1+2*(-2)+0*(-1)=-5`

`\mathbf{v}_2*\mathbf{v}_3=1*0+(-3)*1+(-2)*(-2)+1*(-1)=0`

Tehát `\mathbf{v}_2` ortogonális `\mathbf{v}_1`-re és `\mathbf{v}_3`-ra is, viszont `\mathbf{v}_1` és `\mathbf{v}_3` nem ortogonálisak. Tehát ortogonális rendszert kapunk, ha `\mathbf{v}_3`-ból kivonjuk a `\mathbf{v}_1` irányába eső komponensét:

Először normáljuk `\mathbf{v}_1`-et és `\mathbf{v}_2`-t:

`\mathbf{e}_1=(\mathbf{v}_1)/(||\mathbf{v}_1||)=[[1/sqrt(6)],[-1/sqrt(6)],[2/sqrt(6)],[0]]`

`\mathbf{e}_2=(\mathbf{v}_2)/(||\mathbf{v}_2||)=[[1/sqrt(15)],[-3/sqrt(15)],[-2/sqrt(15)],[1/sqrt(15)]]`

`\mathbf{v}_3` akkor lesz ezekre ortogonális, ha levonjuk az ezen vektorok irányába eső vetületét. Viszont `\mathbf{e}_2` irányú vetülete nincs (skalárszorzatuk természetesen a normálás után is nulla), tehát csak az `\mathbf{e}_1` iránnyal kell foglalkoznunk:

`\mathbf{v}_3-(\mathbf{v}_3*\mathbf{e}_1)*\mathbf{e}_1``=``\mathbf{v}_3-(\mathbf{v}_3*(\mathbf{v}_1)/(||\mathbf{v}_1||))*(\mathbf{v}_1)/(||\mathbf{v}_1||)``=``\mathbf{v}_3-(\mathbf{v}_3*\mathbf{v}_1)/(||\mathbf{v}_1||^2)*\mathbf{v}_1``=``\mathbf{v}_3+5/6\mathbf{v}_1``=``[[5/6],[1/6],[-1/3],[-1]]`

Ezzel már ortogonális vektorrendszerünk van, csak azért nem ortonormált, mert az újonnan kapott vektor nem egységvektor. Normáljuk hát le:

`sqrt((5/6)^2+(1/6)^2+(-1/3)^2+(-1)^2)=sqrt(66)/6`

`\mathbf{e}_3=6/sqrt(66)[[5/6],[1/6],[-1/3],[-1]]=[[5/sqrt(66)],[1/sqrt(66)],[-2/sqrt(66)],[-6/sqrt(66)]]`

Ezzel az `{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3}` vektorrendszer már ortonormált, azaz `\mathbf{e}_i*\mathbf{e}_j=delta_{ij}`. (A `delta_{ij}` jelölés az úgynevezett Kronecker-szimbólum, ami csak annyit jelent, hogy `1`, ha `i=j` és `0`, ha `i ne j`.)