Matek logaritmusok

Szia!

3-as

`lg(3x+5)+lg(x+5)=lg(43x-5)`, itt fontos kitérni arra, hogy a logaritmus zárójelezett részében (argumentumában), csak nullánál nagyobb szám szerepelhet, kikötéseket kell tenni:
`3x+5>0`, `x>(-5/3)`
`x+5>0`, `x>(-5)`
`43x-5>0`, `x>5/43`

vedd elő a függvénytáblád, keresd meg benne a logaritmusos azonosságokat. Itt ugye a baloldalon két azonos alapú logaritmus összege van, ehhez úgy kell eljárnunk, hogy a két logaritmus utáni zárójelezett részt (argumentumot) összeszorozzuk egy logaritmusban,
amit te látsz: `log_a(b)+log_a(c)=log_a(bc)`, ebben a feladatban az "a"=10 (ugye az lg a tizesalapú logaritmust rövidíti),
"b"=(3x+5), és a "c"=(x+5), ha alkalmazzuk ezt a szabályt:

`lg[(3x+5)*(x+5)]=lg(43x-5)`, ekkor a logaritmus szigorú monotonitására hivatkozva a logaritmusok "eltűnnek", ez lesz:

`(3x+5)*(x+5)=43x-5`, ezzel pedig majd egy másodfokú egyenletet kapsz, amit már könnyű megoldani, a megoldások:
`x_1=6`, `x_2=5/3`, ezek a megoldások megfelelnek a kikötéseinknek, tehát jó megoldások (ha mondjuk -6 lett volna az egyik megoldás, az ugye a kikötéseknek ellentmondott volna, így azt ki kellett volna hagynunk a megoldásokból)

4, feladat:

`log_2(3x-4)-log_2(5)=log_2(x+2)` megint kikötéseket teszünk:

`3x-4>0`, `x>4/3`
`x+2>0`, `x>(-2)`

A bal oldalon azonos alapú logaritmusok különbségét vesszük, ehhez a két logaritmus argumentumának hányadosát kell vennünk, úgy hogy, ami előtt van a negatív előjel az megy a nevezőbe, amit te látsz a fv. táblában:
`log_a(b)-log_a(c)=log_a(b/c)`, ebben a feladatban: "a"=2, "b"=(3x-4), "c"=5, ezt az összefüggést használva az egyenleted:

`log_2[(3x-4)/5]=log_2(x+2)`, itt megint a logaritmus függvény szigorúmonotonitására hivatkozunk, "elhagyjuk" a logaritmust:

`(3x-4)/5=x+2`, ebből a megoldás x=-7 lesz, ezt összevetve a kikötésekkel azt kapjuk, hogy ez nem megoldása az egyenletnek, mivel -2-nél és 4/3-nál is kisebb, tehát ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása.

másik 3-as:

`lg(4)/lg(x+1)=2`, itt újból kikötéseket kell tennünk, egyrészt azt, hogy a nevező nem lehet nulla: lg(x+1)≠0, x≠0
x+1>0, x>-1

látom, hogy eljutottál odáig, hogy felviszed a kettest a kitevőbe, onnan folytatom:
`lg(4)=lg(x+1)^2`, itt megint a logaritmus szigorú monotonitására hivatkozunk:

`4=x^2+2x+1`, ebből: `x_1=1`, és `x_2=-3`, ezeket összevetve a kikötésekkel, azt találod, hogy a -3 nem lesz megoldása a valós számok halmazán az egyenletnek, de az 1 igen.



Ezzel vége, remélem nem túl bonyolultan írtam le, bármilyen kérdésed van, nyugodtan írj.

-S.R.