Matek

A második egyszerűbb; ha felrajzolunk egy derékszögű háromszöget, akkor felírhatjuk a két szög tangensét:

tg(α)=a/b, valamint tg(β)=b/a, tehát ebben az esetben tg(α)*tg(β)=(a/b)*(b/a)=1, viszont azt is tudjuk, hogy β=90°-α, mivel egy derékszögű háromszög belső szögei, és a belső szögek összege 180°, tehát: tg(α)*tg(90°-α)=1. Így ha megfelelően párosítjuk a tényezőket:

tg(1°)*tg(89°)=1
tg(2°)*tg(88°)=1
tg(3°)*tg(87°)=1
.
.
.
Ezeknek a pároknak a szorzata mindig 1 lesz a fenti megállapítás értelmében. Már csak az a kérdés, hogy van-e mindegyik tényezőnek párja; lévén 89 tényezőből áll az egész szorzat, ezért biztos, hogy valaki pár nélkül marad, és arra sem nehéz rájönni, hogy a középső tag lesz az áldozat, vagyis a tg(45°) (ráadásul a fenti összefüggés szerint tg(45°)-nak tg(45°) kell, hogy a párja legyen, de csak 1 van belőle). Tehát a szorzat értéke tg(45°)-kal egyezik meg, ami 1.

Az elsőn még gondolkoznom kell.

1)
cos30=√3/2
sin30=1/2
A számláló:
cos5+sin(30-5) = cos5 + sin30·cos5-cos30·sin5 = cos5 + (cos5 - √3·sin5)/2 = (3cos5 - √3·sin5)/2 = √3·(√3cos5 - sin5)/2
A nevező:
cos(30-5)-sin5 = cos30·cos5+sin30·sin5 - sin5 = (√3·cos5 + sin5)/2 - sin5 = (√3·cos5 - sin5)/2

A hányadosuk tehát √3