Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek házi nagyon sürgős!
boszke.ma
kérdése
1024
Két konvex sokszögnek összesen 68 átlója van. A belső szögeik összege 27000. Hány oldalúak a sokszögek?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
megoldása
A feladatot elírtad, a belső szögek összege valószínűleg 2700⁰.
Legyen az I. sokszög x oldalú, a II. sokszög pedig y oldalú.
Egy n oldalú konvex sokszögben 1 csúcsból n - 3 átlót tudunk húzni, mert saját magába és a két szomszédjába nem lehet.
Mivel összesen n db csúcs van, akkor ez összesen: n * (n -3) db átló lenne, de így minden átlót kétszer számoltunk, hiszen mindkét végpontjánál számításba vettük. Ezért az n oldalú sokszög átlóinak a száma: n * (n - 3) / 2
Akkor ezt alkalmazva az I. sokszög átlóinak száma: x * (x - 3) / 2
A II. sokszög átlóinak száma pedig: y * (y -3) / 2
A feladat feltételei szerint összesen 68 átló van, azaz:
x * (x - 3) / 2 + y * ( y - 3) / 2 = 68 /*2
x * (x - 3) + y * ( y - 3) = 136 Ez lett az 1. egyenletünk.
Nézzük a belső szögeket.
Ha az n oldalú sokszögben egy csúcsból behúztuk az összes átlót ( n -3db-ot), akkor a sokszöget háromszögekre daraboltuk fel, mégpedig a behúzott átlók számánál 1-gyel több háromszöget kaptunk. (Mert minden egyes egyenes behúzásával 1-gyel nő a darabszám, mint amennyi előtte volt.)
Ez azt jelenti, hogy összesen a sokszögben n - 3 + 1 = n - 2 db háromszöget kaptunk.
Tudjuk azt, hogy egy háromszögben a belső szögek összege 180⁰ , akkor n - 2 db háromszögben összesen: (n - 2) * 180⁰ a szögösszeg.
Vagyis egy n oldalú sokszög belső szögeinek összege: (n - 2) * 180⁰.
Akkor ezt alkalmazva az I. sokszög belső szögeinek összege: (x - 2) * 180⁰
A II. sokszög belső szögeinek összege: (y - 2) * 180⁰
A feladat feltételei szerint:
(x - 2) * 180⁰ + (y - 2) * 180⁰ = 2700⁰ /:180⁰
x - 2 + y - 2 = 15
x + y - 4 = 15
x + y = 19 Ez lett a 2. egyenletünk.
A megoldandó egyenletrendszer:
1. x * (x - 3) + y * (y - 3) = 136
2. x + y = 19
Kifejezzük y-t a 2. egyenletből: y = 19 - x
Ezt behelyettesítjük az 1. egyenletbe:
x * (x - 3) + (19 - x) * (19 - x - 3) = 136
x * (x - 3) + (19 - x) * (16 - x) = 136
x2 - 3x + 304 - 19x - 16x + x2 = 136
2x2 - 38x + 304 = 136
2x2 - 308x + 168 = 0 /:2
x2 - 19x + 84 = 0
D = (-19)2 - 4 * 1 * 84 = 361 - 336 = 25 = 52
x1,2 = (19 ± 5) / 2
x1 = (19 + 5) / 2 = 24 / 2 = 12
x2 = (19 - 5) / 2 = 14 / 2 = 7
Visszahelyettesítjük az x-eket az y-ba:
y1 = 19 - 12 = 7
y2 = 19 - 7 = 12
Tehát az egyik sokszög 12 oldalú, a másik pedig 7 oldalú.
Legyen az I. sokszög x oldalú, a II. sokszög pedig y oldalú.
Egy n oldalú konvex sokszögben 1 csúcsból n - 3 átlót tudunk húzni, mert saját magába és a két szomszédjába nem lehet.
Mivel összesen n db csúcs van, akkor ez összesen: n * (n -3) db átló lenne, de így minden átlót kétszer számoltunk, hiszen mindkét végpontjánál számításba vettük. Ezért az n oldalú sokszög átlóinak a száma: n * (n - 3) / 2
Akkor ezt alkalmazva az I. sokszög átlóinak száma: x * (x - 3) / 2
A II. sokszög átlóinak száma pedig: y * (y -3) / 2
A feladat feltételei szerint összesen 68 átló van, azaz:
x * (x - 3) / 2 + y * ( y - 3) / 2 = 68 /*2
x * (x - 3) + y * ( y - 3) = 136 Ez lett az 1. egyenletünk.
Nézzük a belső szögeket.
Ha az n oldalú sokszögben egy csúcsból behúztuk az összes átlót ( n -3db-ot), akkor a sokszöget háromszögekre daraboltuk fel, mégpedig a behúzott átlók számánál 1-gyel több háromszöget kaptunk. (Mert minden egyes egyenes behúzásával 1-gyel nő a darabszám, mint amennyi előtte volt.)
Ez azt jelenti, hogy összesen a sokszögben n - 3 + 1 = n - 2 db háromszöget kaptunk.
Tudjuk azt, hogy egy háromszögben a belső szögek összege 180⁰ , akkor n - 2 db háromszögben összesen: (n - 2) * 180⁰ a szögösszeg.
Vagyis egy n oldalú sokszög belső szögeinek összege: (n - 2) * 180⁰.
Akkor ezt alkalmazva az I. sokszög belső szögeinek összege: (x - 2) * 180⁰
A II. sokszög belső szögeinek összege: (y - 2) * 180⁰
A feladat feltételei szerint:
(x - 2) * 180⁰ + (y - 2) * 180⁰ = 2700⁰ /:180⁰
x - 2 + y - 2 = 15
x + y - 4 = 15
x + y = 19 Ez lett a 2. egyenletünk.
A megoldandó egyenletrendszer:
1. x * (x - 3) + y * (y - 3) = 136
2. x + y = 19
Kifejezzük y-t a 2. egyenletből: y = 19 - x
Ezt behelyettesítjük az 1. egyenletbe:
x * (x - 3) + (19 - x) * (19 - x - 3) = 136
x * (x - 3) + (19 - x) * (16 - x) = 136
x2 - 3x + 304 - 19x - 16x + x2 = 136
2x2 - 38x + 304 = 136
2x2 - 308x + 168 = 0 /:2
x2 - 19x + 84 = 0
D = (-19)2 - 4 * 1 * 84 = 361 - 336 = 25 = 52
x1,2 = (19 ± 5) / 2
x1 = (19 + 5) / 2 = 24 / 2 = 12
x2 = (19 - 5) / 2 = 14 / 2 = 7
Visszahelyettesítjük az x-eket az y-ba:
y1 = 19 - 12 = 7
y2 = 19 - 7 = 12
Tehát az egyik sokszög 12 oldalú, a másik pedig 7 oldalú.
0
- Még nem érkezett komment!
molnarn777
válasza
Valaki tudja hogy ez a feladat melyik peldatárból van? Matek dogát írok és elvileg abból szokott feladatot adni.
0
- Még nem érkezett komment!