Házi

k alatt az n

Elsőre azt gondolnánk, hogy `((k),(n))` a megoldás, de vizsgáljuk meg alaposabban.

Ellenőrizzük le egy egyszerű számítással:

5 egyforma könyvet osztunk szét 5 tanulónak. Ha `((k),(n))` lenne, akkor `((5),(5))` = 1-féle lehetőség van, pedig

tudjuk, hogy nem. Lehet, hogy mindenki kap 1 könyvet; lehet, hogy az összeset egy tanuló kapja és ezek között

bármi. Arról nem beszélve, hogy ha több könyvet sorsolunk ki, mint ahány tanuló van, akkor mi a megoldás.

Az ismétléses kombináció egy kicsit trükkös. Hogy kit mi szerint ismételünk, az kiderül a feladatból, egyik

megközelítésben:

Rakjuk sorba a tanulókat (maradhatunk az 5 könyv 5 tanulónál; A tanulók legyenek A, B, C, D, E). Mindenki tartsa a

bal kezében a kapott könyvet. Sok lehetőség van, itt egy pár:

K A K B K C K D K E `rightarrow` Mindenki kapott 1 könyvet

K A K K B C D K K E `rightarrow` A egyet, B kettőt, E kettőt

A K B K K C K K D E `rightarrow` B egyet, C és D kettőt

K K K K K A B C D E `rightarrow` Mindet A kapta

A K K K B C D K K E `rightarrow` B hármat, E kettőt

Azért írtam fel többet, hogy lássuk, a jobb oldalra mindig E kerül, vele nem kell számolnunk, a többi helyre

kerülhet bármi. Így összesen csak 9 elemünk van, amit kombinálhatunk és van benne 5 azonos, így egy 9 elem 5-ödosztályú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk.

`C_9^5` = `((9),(5))` = `(9!)/(4!*5!)` = `(6*7*8*9)/(2*3*4)` = 126 féleképpen kaphatják a könyvet.

A konkrét példánál maradva:

Van n darab egyforma könyvünk és k darab diákunk, ez összesen n+k elem, szépen sorba rakjuk őket, ahogy fentebb, az

utolsó diák mindig jobb oldalra kerül, így egy (n+k-1) elem n-edosztályú ismétlés nélküli kombinációját kell

megoldanunk:

`C_n^(k,i)` = `C_n^(n+k-1)` = `((n+k-1),(n))` = `((n+k-1)!)/(n!*(k-1)!)`

Az `((n),(k))` akkor lenne igaz, ha minden tanuló csak 1 könyvet kapna. (Az 5 tanuló 5 könyvből ez látszik is, 1 ilyen eset van)