Matek 12.osztály

A téglalap oldalai legyenek: hosszabb oldala: a és rövidebb oldala: b. Átlója d. Átlók által bezárt szög: φ.
Ha berajzoljuk a két átlót, akkor a téglalapot 4 egyenlőszárú háromszögre osztottuk (az átlők pedig felezték egymást).
Az egyik ilyen egyenlőszárú háromszögnek az alapja a b oldal, szárai az átló fele (d/2) és szárszöge pedig a φ.
Ha ennek a háromszögnek behúzzuk az alaphoz tartozó magasságát, az felezi az alapot és a szárszöget és hossza megegyezik a téglalap a oldalának a felével (a/2).
Ekkor kaptunk 2 olyan deréklszögű háromszöget, melyeknek az egyik szöge: φ/2, a szöggel szemkőzti befogója b/2, a szög melletti befogója a/2 és az átfogója d/2.
Ebben a derékszögű háromszögben alkalmazzuk a szögfüggvényeket:
sin(φ/2) = (b/2) / (d/2)
(d/2) * sin(φ/2) = b/2 /*2
d * sin(φ/2) = b
Ugyanebben a derékszögű háromszögben:
cos(φ/2) = (a/2) / (d/2)
(d/2) * cos(φ/2) = a/2 /*2
d * cos(φ/2) = a

A téglalap kerülete:
K = 2 * (a + b) = 2 * (d * cos(φ/2) + d * sin(φ/2) = 2d * ( cos(φ/2) + sin(φ/2) ) (kiemeltünk d-t)
A téglalap területe:
T = a * b = (d * cos(φ/2)) * (d * sin(φ/2)) = d2 - cos(φ/2) - sin(φ/2)
A kétszeres szögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggés szerint: sin2α = 2 * sinα * cosα, azaz sinα * cosα = (sin2α)/2
Ha ezt az összefüggést alkalmazzuk α = φ/2 -vel, akkor azt kapjuk, hogy
cos(φ/2) * sin(φ/2) = [sin (2*φ/2)]/2 = (sinφ)/2
Így a téglalap területe felírható: T = d2 * (sinφ)/2 alakban is.