Matek házi

a)
Ha a gömböt síkkal elmetszük, akkor a síkmetszet egy kör lesz.
Ennek a sikmetszetnek a területe: 9π cm2
Jelölje a gömb sugarát R, a síkmetszet sugarát pedig r.
Ekkor tudjuk, hogy Tsíkmetszet = 9π
Tsíkmetszet = r2 * π
Tehát azt kapjuk, hogy:
r2 * π = 9π /:π
r2 = 9
r = 3 cm
A gömb középpontja a síkmetszettől 4 cm-re van, legyen ez x. Ha behúzzuk a símetszet sugarát, az x-et és a gömb sugarát, akkor egy derékszögú háromszöget kapunk, melynek befogói az x és az r, átfogója pedig a gömb sugara.
Erre a háromszögre felírjuk Pitagorasz-tételét:
r2 + x2 = R2
32 + 42 = R2
9 + 16 = R2
25 = R2
R = 5 cm
Agömb = 4 * R2 * π = 4 * 52 * π = 4 * 25 * π = 100π cm2= 314 cm2
Vgömb = (4 * R3 * π) / 3 = (4 * 53 * π) / 3 = (4 * 125 * π) / 3 = 500π/3 cm3 = 523,33 cm3

b)
Ha a gömböt síkkal elmetszük, akkor a síkmetszet egy kör lesz.
Ennek a sikmetszetnek a területe: 3421 cm2
Jelölje a gömb sugarát R, a síkmetszet sugarát pedig r.
Ekkor tudjuk, hogy Tsíkmetszet = 3421
Tsíkmetszet = r2 * π
Tehát azt kapjuk, hogy:
r2 * π = 3421 /:π
r2 = 1089,49
r = 33,01 cm
A gömb középpontja a síkmetszettől 4 cm-re van, legyen ez x. Ha behúzzuk a símetszet sugarát, az x-et és a gömb sugarát, akkor egy derékszögú háromszöget kapunk, melynek befogói az x és az r, átfogója pedig a gömb sugara.
Erre a háromszögre felírjuk Pitagorasz-tételét:
r2 + x2 = R2
33,012 + 42 = R2
1089,49 + 16 = R2
1105,49 = R2
R = 33,25 cm
Agömb = 4 * R2 * π = 4 * 33,252 * π = 4 * 1105,5625 * π = 13885,865 cm2
Vgömb = (4 * R3 * π) / 3 = (4 * 33,253 * π) / 3 = (4 * 36759,95 * π) / 3 = 461704,972 cm3