SOS VALAKI SEGÍTSEN

b) log6x = 1 - log63
Értelmezési tartomány: x > 0

log6 = log66 - log63
log6x = log6 (6/3)
log6x = log62
Log. fgv. szig. mon. miatt
x = 2

c) lg(x - 5) = 2 - lg5
Értelmezési tartomány: x - 5 > 0
x > 5

lg(x - 5) = lg 102 - lg 5
lg(x - 5) = lg 100 - lg 5
lg(x - 5) lg (100/5)
lg(x - 5) = lg 20
Log. fgv. szig. mon. miatt
x - 5= 20
x = 25

d) lg 2x = 1 + lg 3
Értelmezési tartomány:
2x > 0
x > 0
lg 2x = lg 10 + lg 3
lg 2x = lg (10 * 3)
lg 2x = lg 30
Log. fgv. szig. mon. miatt
2x = 30
x = 15

9.3
a) log2(x - 5) + log2(x + 2) =3
Értelmezési tartomány:
x - 5 > 0
x > 5
x + 2 > 0
x > -2
A két egyenlőtlenség közös megoldása: x > 5
log2(x - 5) * (x + 2) = log223 (mert azonos alapú logaritmusok között összeadás van, akkor az argumentumokat összeszorozzuk)
Log. fgv. szig. mon. miatt
(x - 5) * (x + 2) = 23
x2 + 2x -5x -10 = 8
x2 - 3x -18 = 0
D = (-3)2 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81 = 92
x1,2 = (3 ± 9) / 2
x1 = (3 + 9) / 2 = 12/2 = 6
x2 = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban

b) log4x + log4(x - 3) = 2
Értelmezési tartomány:
x > 0
x - 3 > 0
x > 3
A két egyenblőtlenség közös megoldása: x > 3
log4x * (x - 3) = log442
log4x * (x - 3) = log4 16
Log. fgv. szig. mon. miatt
x * ( x - 3) = 16
x2 - 3x = 16
x2 - 3x -16 = 0
D = (-3)2 - 4 * 1 * (-16) = 9 + 64 = 73 = (√ 73 )2
x1,2 = (3 ± √ 73 ) / 2
x1 = (3 + √ 73 ) / 2 = 2,886 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban.
x2 = (3 - √ 73 ) / 2 =-2,772 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban.
Az egyenletnek nincs megoldása.

9.4
a) log2(3x - 1) = log2(3 - x)
Értelmezési tartomány:
3x - 1 > 0
3x > 1
x > 1/3
3 - x > 0
3 > x
A két egyenlőtlenség közös megoldása:
1/3 < x < 3 vagy intervallummal: x ε ] 1/3 ; 3 [
log2(3x - 1) = log2(3 - x)
Log. fgv. szig. mon. miatt
3x -1 = 3 - x
4x - 1 = 3
4x = 4
x = 1

b) log2(3x - 1) - log2(2x + 2) = 0
Értelmezési tartomány:
3x - 1 > 0
3x > 1
x > 1/3
2x + 2 > 0
2x > -2
x > -1
A két egyenlőtlenség közös megoldása: x > 1/3
log2(3x - 1) - log2(2x + 2) = 0
log2 (3x - 1) / (2x + 2) = log220 ha azonos alapú logaritmusok között kivonás van, akkor osztunk
Log. fgv. szig. mon. miatt
(3x - 1) / (2x + 2) = 20
(3x - 1) / (2x + 2) = 1
3x - 1 = 2x + 2
x - 1 = 2
x = 3

c) log2(2x - 1) / log2(x + 1) = 1
Értelmezési tartomány:
2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2
x + 1 > 0
x > -1
A tört nevezője nem lehet 0, ezért log2(x + 1) ≠ 0
log2(x + 1) ≠ log220
Log. fgv. szig. mon. miatt
x + 1 ≠ 20
x + 1 ≠ 1
x ≠ 0
Az értelmezési tartomány tehát: x > 1/2
log2(2x - 1) / log2(x + 1) = 1 beszorzunk a nevezővel:
log2(2x - 1) = log2(x + 1)
Log. fgv. szig. mon. miatt
2x - 1 = x + 1
x - 1 = 1
x = 2