1.
Az integrálban gondolom lemaradtak a zárójelek, és az `(x^2-1)/(1+y)` függvényről van szó. Ebben az esetben a kettős integrál szeparálható:

`int_0^7 int_0^5 (x^2-1)/(1+y) \ dxdy``=``int_0^7 1/(1+y) \ dy int_0^5 (x^2-1) \ dx``=``[ln(1+y)]_0^7 * [x^3/3-x]_0^5``=``ln8 * (125/3-5)``=``110/3 * ln 8`

Ellenőrzés: https://bit.ly/38uiB1T



2.
Gradiens: `grad f = [[24x-24y],[-24x+24y^2]]`

Ott lehet szélsőérték, ahol a gradiens nullvektor. Ez jelen esetben az `x=y` és `x=y^2` feltételek együttes teljesülését jelenti, tehát a lehetséges szélsőértékhelyek a `[0, 0]` és az `[1, 1]` pontok. A Hesse-determináns dönti el, hogy ezek közül valamelyik valóban szélsőérték-e.

Hesse-mátrix: `\mathbf{H}=[[24, -24],[-24, 48y]]`

Ennek a determinánsa: `det(\mathbf{H})=1152y-576`

A determináns értéke a `[0, 0]` pontban -576, ez tehát csak nyeregpont.
A determináns értéke az `[1, 1]` pontban 576, és az `x` szerinti második derivált is pozitív, tehát itt lokális minimum van, aminek értéke `f(1, 1)=-2`.