Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
feladatok
Naci3
kérdése
372
kettős integrál: ₀∫⁷ ₀∫⁵ x²-1/1+y dx dy
kétváltozós függvény szélsőérték helye és értéke: f(x,y) = 12x²-24xy+8y³+2
kétváltozós függvény szélsőérték helye és értéke: f(x,y) = 12x²-24xy+8y³+2
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
válasza
1.
Az integrálban gondolom lemaradtak a zárójelek, és az `(x^2-1)/(1+y)` függvényről van szó. Ebben az esetben a kettős integrál szeparálható:
`int_0^7 int_0^5 (x^2-1)/(1+y) \ dxdy``=``int_0^7 1/(1+y) \ dy int_0^5 (x^2-1) \ dx``=``[ln(1+y)]_0^7 * [x^3/3-x]_0^5``=``ln8 * (125/3-5)``=``110/3 * ln 8`
Ellenőrzés: https://bit.ly/38uiB1T
2.
Gradiens: `grad f = [[24x-24y],[-24x+24y^2]]`
Ott lehet szélsőérték, ahol a gradiens nullvektor. Ez jelen esetben az `x=y` és `x=y^2` feltételek együttes teljesülését jelenti, tehát a lehetséges szélsőértékhelyek a `[0, 0]` és az `[1, 1]` pontok. A Hesse-determináns dönti el, hogy ezek közül valamelyik valóban szélsőérték-e.
Hesse-mátrix: `\mathbf{H}=[[24, -24],[-24, 48y]]`
Ennek a determinánsa: `det(\mathbf{H})=1152y-576`
A determináns értéke a `[0, 0]` pontban -576, ez tehát csak nyeregpont.
A determináns értéke az `[1, 1]` pontban 576, és az `x` szerinti második derivált is pozitív, tehát itt lokális minimum van, aminek értéke `f(1, 1)=-2`.
Az integrálban gondolom lemaradtak a zárójelek, és az `(x^2-1)/(1+y)` függvényről van szó. Ebben az esetben a kettős integrál szeparálható:
`int_0^7 int_0^5 (x^2-1)/(1+y) \ dxdy``=``int_0^7 1/(1+y) \ dy int_0^5 (x^2-1) \ dx``=``[ln(1+y)]_0^7 * [x^3/3-x]_0^5``=``ln8 * (125/3-5)``=``110/3 * ln 8`
Ellenőrzés: https://bit.ly/38uiB1T
2.
Gradiens: `grad f = [[24x-24y],[-24x+24y^2]]`
Ott lehet szélsőérték, ahol a gradiens nullvektor. Ez jelen esetben az `x=y` és `x=y^2` feltételek együttes teljesülését jelenti, tehát a lehetséges szélsőértékhelyek a `[0, 0]` és az `[1, 1]` pontok. A Hesse-determináns dönti el, hogy ezek közül valamelyik valóban szélsőérték-e.
Hesse-mátrix: `\mathbf{H}=[[24, -24],[-24, 48y]]`
Ennek a determinánsa: `det(\mathbf{H})=1152y-576`
A determináns értéke a `[0, 0]` pontban -576, ez tehát csak nyeregpont.
A determináns értéke az `[1, 1]` pontban 576, és az `x` szerinti második derivált is pozitív, tehát itt lokális minimum van, aminek értéke `f(1, 1)=-2`.
0
- Még nem érkezett komment!