5. feladat:
Közös pontot (metszéspontot) úgy tudunk meghatározni, hogy az alakzatok egyenleteiből álló egyenlet-rendszert megoldjuk.
Itt:
I. x2 + y2 - x - 4y - 2 = 0
II. x - 2y = -6
Az egyszerűbb egyenletből kifejezzük valamelyik ismeretlent.
Itt a II. egyenletből fejezzük ki x-et: x = 2y - 6
Ezt behelyettesítjük a másik egyenletbe:
(2y - 6)2 + y2 - (2y - 6) - 4y - 2 = 0
4y2 - 24y + 36 + y2 - 2y + 6 - 4y - 2 = 0
5y2 - 30y + 40 = 0
y2 -6y + 8 = 0
D = (-6)2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 = 22
y1,2 = (6 ± 2) / 2
y1 = (6 + 2) / 2 = 8 / 2 = 4
y2 = (6 - 2) / 2 = 4 / 2 = 2

Visszahelyettesítünk x-be:
x1 = 2 * 4 - 6 = 8 - 6 = 2
x2 = 2 * 2 - 6 = 4 - 6 = -2

A körnek és az egyenesnek 2 közös pontja van: K1 ( 2 ; 4) és K2 ( -2 ; 2)

6. feladat:
A kör egyenlete: x2 + y2 + 4x - 4y - 9 = 0
P (2 ; 1)
Leellenőrizzük, hogy a P hol helyezkedik el ,a körön, vagy azon kívül.
Ezt úgy tesszük meg, hogy a P pont koordinátáit behelyettesítjük a kör egyenletébe:
22 + 12 + 4 * 2 - 4 * 1 - 9 = 0
4 + 1 + 8 - 4 - 9 = 0
0 = 0, vagyis a P pont rajta van a körön.
A körnek egy adott pontjába kell érintöt húzni. Tudjuk, hogy az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, vagyis a sugár irányvektora megegyezik az érintő normálvektorával.
A sugár irányvektorának meghatározásához szükségünk van a kör középpontjára, ezért átalakítjuk a kör egyenletét:
x2 + 4x + y2 - 4y - 9 = 0
(x + 2)2 - 4 + (y - 2)2 - 4 - 9 = 0
(x + 2)2 + (y - 2)2 = 17
Tehát a kör középpontjának koordinátái: K (-2 ; 2)

A sugár irányvektora a KP vektor lesz: (2 - (-2) ; 1 - 2)
KP (4 ; -1)
Mivel a sugár merőleges az érintőre, ezért az érintő normálvektora is n (4 ; -1)
Az érintő a P (2; 1) ponton megy át.
Adott ponton átmenő egyenes normálvektoros egyenlete:
Ax + By = Ax0 + By0, ahol A és B a normálvektor koordinátái, x0 és y0 a P pont koordinátái.
Tehát:
4x - y = 4 * 2 - 1 * 1
4x - y = 8 - 1

Az érintő egyenlete: 4x - y = 7

4. feladat:
A kör egyenlete: x2 + y2 + 2x - 4y = 0
Meghatározzuk a kör középpontjának koordinátáit, ehhez átalakítjuk az egyenletet:
x2 + 2x +y2 - 4y = 0
(x + 1)2 - 1 + ( y - 2)2 - 4 = 0
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 5
A kör középpontjának koordinátái: K (-1 ; 2)
A kör sugara: r = √ 5 

a) Ha a kört tükrözzük, akkor a sugara nam változik, csak a középpontjának a koordinátái.
Ha az x tengelyre tükrözünk, akkor a középpont x koordinátája nem változik, az y koordináta pedig ellentétes előjelű lesz.
Tehát az új kör középpontja: K2 (-1 ; -2) lesz, sugár : r=√ 5 
Így a kör egyenlete:
(x - (-1))2 + (y - (-2))2 = √ 5 2
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5

b) Ha a (4 ; -3) pontra tükrözünk, akkor ez a pont az eredeti kör középpontjának és az új kör középpontjának a felezőpontja lesz.
Vagyis:
4 = (-1 + x) / 2 /*2
8 = -1 + x /+1
9 = x

-3 = (2 + y) / 2 /*2
-6 = 2 + y /-2
-8 = y
Az új kör középpontja: K3 (9 ; -8) sugara: r = √ 5 
Így a kör egyenlete:
(x - 9)2 + (y - (-8))2 = √ 5 2
(x - 9)2 + ( y + 8)2 = 5

c) Origóra tükrözünk, azaz (0 ;0) pontra tükrözünk, akkor a kör középponjának mindkét koordinátája ellentétes előjelű lesz.
Az új kör középpontja tehát: K4 ( 1 ; -2) sugara: r = √ 5 
Így az egyenlete:
(x - 1)2 + (y - (-2))2 = √ 5 2
(x -1)2 + (y + 2)2 = 5