4. feladat:
logxb = log2x2b, ahol b>0
Értelmezési tartomány:
x>0 és x≠1 (logaritmus alapja csak pozitív lehet, de nem lehet egyenlő 1-gyel)
logxb = (logbb) / logbx)

Írjunk át az egyenletben minden logaritmust b alapra: (azért b alapra, mert b egy poz. szám)
(logbb) / (logbx) = ( logb2b) / (logb2x)
logbb = 1
logb2b = logb2 + logbb
Ezen logaritmus azonosságok alapján kapjuk, hogy:

1 / logbx = (logb2 + logbb) / ( logb2 + logbx)
Vezessünk be új ismeretlent:
Legyen y = logbx
Ekkor az egyenletünk a következőképpen alakul:
1 / y = (logb2 + 1) / ( logb2 + y)

Keresztbeszorzunk:
logb2 + y = y * ( logb2 + 1)
logb2 + y = y * logb2 + y /-y
logb2 = y * logb2 /: logb2 (mivel biztosan ≠ 0-val)
1 = y
Azaz:
logbx = 1
logbx = logbb
A log. fgv. szig. mon. miatt
x = b

Ellenőrzés:
logbb = log2b2b
1 = 1

2. feladat:
1-p = ( 1 + p) / (x - 1)
Éertelmezési tartomány:
x - 1 ≠ 0
x ≠ 1 (mert nevező ≠ 0)
Rendezzük az egyenletet x-re:
Beszorzunk a nevezővel:
(1 - p) * (x - 1) = 1 + p
x - 1 - p*x + p = 1 + p
x - p*x - 1 = 1
x - p*x = 2
x * (1 - p) = 2
x = 2 / (1 -p)
A feltétel szerint az x-nek pozitívnak kell lenni, vagyis
2 / (1 - p) >0
A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Itt a számláló (2) pozitív, tehát a nevezőnek is pozitívnak kell lenni.
Tehát: 1 - p > 0
1 > p esetén lesz az egyenlet x megoldása pozitív.

Szerintem is ez lenne ennek az oldalnak a lényege, hogy megértsük, ne pedig megoldassuk, persze lelke rajta mindenkinek.