Matek SOS

Két dolgot kellene bizonyítani. Egyrészt a 60°-al szembeni oldalra tükrözve a háromszög köré írt kört a megmaradt három kitüntetett pont illeszkedik erre a körre. Továbbá be kellene látni, hogy a 60°-os szögön kívül más esetek nem jöhetnek szóba.

A probléma első részének bizonyítása:

Legyen `ABC∆` `A`-nál lévő szöge `α=60°`. Legyen továbbá a háromszög körül írt körének középpontja `P`, a háromszögbe írt kör középpontja `Q` és a magasságpontja `M`. Legyen `k` kör háromszög körülírt köre, `k'` a háromszög `k` körének `BC` szakaszra vonatkoztatott tükörképe. Bizonyítjuk, hogy ha a háromszög körülírt körét `BC` szakaszra tükrözzük, akkor erre nemcsak a `B` és a `C` csúcspontok, hanem a másik három kitüntetett pont, nevezetesen a `P`, a `Q` és az `M ` pontok is illeszkedni fognak.

A kör tükrözésekor az `A` pont az `A_0` pontba megy át. Továbbá `β+γ=120°, β/2+γ/2+CQB∢=180°`, `CQB∢=120°` A háromszögbe írt kör középpontjából `120°` alatt látszódik a `BC` szakasz, a `Q` pont a szögfelezőkön van, ezért az `A_0BQC` négyszög húrnégyszög.

`P` pont esetén vegyük észre, hogy `CPB∢=120°`-os középponti szöghöz tartozik a `CAB∢=60°`-os kerületi szög. Ebből következik, hogy a `k'` körön a `CPBA_0` négyszög szintén húrnégyszög, mert az `A_0` és a szemben levő `P` pontban levő szögek összege `180°`, vagyis mind a négy pont rajta van a `k'` körön. Ugyanis a `k` kört az `A, B, C` pontok, míg az `A_0, B, C` pontok a tükrözött `k'` kört fogják meghatározni.

Az `M` magasságpont vizsgálatánál a derékszög esete szinte trivialitás, mert `β=90°` esetén a `P` pont az `AC` szakasz felező pontja lesz és az `M` pont megegyezik a `B` ponttal. Hegyesszög esetén előjön három "kis húrnégyszög", de ezekből minket csak az egyik érdekel. Legyenek az `AB` és `AC` egyeneseken a megfelelő talppontok `T_c` illetve `T_b`. Vegyük észre, hogy `AT_cMT_b` négyszög húrnégyszög, mert a szemben lévő szögek összege `180°`. Így `T_bMT_c∢=BMC∢=120°`. Ebből következik, hogy `M` pont is illeszkedik a kérdéses `k' `kör `ABC∆` belsejéhez (ti. a háromszög tartomány belső pontjainak halmazához). Tehát `MBA_0C` négyszög szintén húrnégyszöget alkot.
Tompaszög esetére a kerületi szögekre kimondott tételek adnak segítséget.
Legyen ugyanis `β>90°`. Ekkor az `T_c` talppont az `AB` egyenes `AB` szakaszt nem tartalmazó `B` ponthoz közelebb eső részén fog elhelyezkedni. A `T_b` talppont az `AC` szakasz belső pontja lesz. Az `AT_c` egyenes a síkot két részre bontja, ahol `M` pont a `C` pontot nem tartalmazó félsíkon helyezkedik el. `T_bBA∢=T_cBM∢=30°`. Következésképp `T_cMB∢=CA_0B∢=60°`.
Tehát `T_cMB∢` és a `CA_0B∢=60°` szög ugyanahhoz `BC` ívhez tartozó kerületi szögek. Tehát `M` pont illeszkedik a kérdéses `k'` körhöz is.
q.e.d.