Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Köré írható kör
nemertekamatekhoz
kérdése
1708
Egy szabályos sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, mint a nála kettővel nagyobb oldalszámú szabályos sokszögnek.
a) Melyek ezek a sokszögek?
Egy szabályos 14-szög köré írható körének sugara 10 cm, egyik csúcsa P.
b) Határozza meg a leghosszabb és a legrövidebb átló hosszát!
c) Mekkora szöget zár be egymással a P-ből húzható leghosszabb és legrövidebb átló?
a) Melyek ezek a sokszögek?
Egy szabályos 14-szög köré írható körének sugara 10 cm, egyik csúcsa P.
b) Határozza meg a leghosszabb és a legrövidebb átló hosszát!
c) Mekkora szöget zár be egymással a P-ből húzható leghosszabb és legrövidebb átló?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matek, #érettségi, #12, #hogykell, #koreirhatokor, #atlok
#matek, #érettségi, #12, #hogykell, #koreirhatokor, #atlok
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
válasza
1. feladat:
Egy n oldalú sokszög átlóinak száma:
1 csúcsból : n - 3 db átló húzható (saját magába és a szomszédos csúcsokba nem lehet húzni)
n csúcsból : n * ( n - 3) db átló, de ekkor minden átlót 2-szer számoltunk, mert mindkét csúcsból "behúztuk".
Tehát az átlók száma összesen: (n * (n - 3) ) / 2
Az egyik sokszög legyen: x oldalú. Ekkor átlóinak a száma: (x * (x - 3) ) / 2
A feladat feltételei szerint a másik sokszög x + 2 oldalú. Ekkor átlóinak a száma: ( (x + 2) * (x + 2 - 3) ) / 2 = ( (x + 2) * (x - 1) ) / 2
A feladat szerint az első sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, tehát felírható a következő egyenlet:
(x * (x - 3) ) / 2 + 25 = ( (x + 2) * ( x - 1) ) / 2 Rendezzük az egyewnletet. /*2
x * (x - 3) + 50 = (x + 2) * (x - 1)
x2 -3x + 50 = x2 -x + 2x -2
x2 - 3x + 50 = x2 + x - 2 /-x2
-3x + 50 = x - 2 / + 3x
50 = 4x - 2 / + 2
52 = 4x /:4
13 = x
Tehát az egyik sokszög 13 oldalú, a másik pedig 15 oldalú.
Ellenőrzés:
13 oldalú sokszög átlói: (13 * (13 - 3) ) / 2 = ( 13 * 10) / 2 = 130 / 2 = 65 db
15 oldalú sokszög átlói: (15 * (15 - 3) ) / 2 = ( 15 * 12) / 2 = 180 / 2 = 90 db
65 <25 90
Egy n oldalú sokszög átlóinak száma:
1 csúcsból : n - 3 db átló húzható (saját magába és a szomszédos csúcsokba nem lehet húzni)
n csúcsból : n * ( n - 3) db átló, de ekkor minden átlót 2-szer számoltunk, mert mindkét csúcsból "behúztuk".
Tehát az átlók száma összesen: (n * (n - 3) ) / 2
Az egyik sokszög legyen: x oldalú. Ekkor átlóinak a száma: (x * (x - 3) ) / 2
A feladat feltételei szerint a másik sokszög x + 2 oldalú. Ekkor átlóinak a száma: ( (x + 2) * (x + 2 - 3) ) / 2 = ( (x + 2) * (x - 1) ) / 2
A feladat szerint az első sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, tehát felírható a következő egyenlet:
(x * (x - 3) ) / 2 + 25 = ( (x + 2) * ( x - 1) ) / 2 Rendezzük az egyewnletet. /*2
x * (x - 3) + 50 = (x + 2) * (x - 1)
x2 -3x + 50 = x2 -x + 2x -2
x2 - 3x + 50 = x2 + x - 2 /-x2
-3x + 50 = x - 2 / + 3x
50 = 4x - 2 / + 2
52 = 4x /:4
13 = x
Tehát az egyik sokszög 13 oldalú, a másik pedig 15 oldalú.
Ellenőrzés:
13 oldalú sokszög átlói: (13 * (13 - 3) ) / 2 = ( 13 * 10) / 2 = 130 / 2 = 65 db
15 oldalú sokszög átlói: (15 * (15 - 3) ) / 2 = ( 15 * 12) / 2 = 180 / 2 = 90 db
65 <25 90
1
- Még nem érkezett komment!
Nagy-Gombás Szilvi
{ Tanár }
megoldása
2. feladat:
Szabályos 14 szög. Köré írható kör sugara: 10 cm.
A leghosszabb átló a köré írható kör átmérője, tehát d = 2 * r = 20 cm.
A legrövidebb átló legyen: x cm.
A legrövidebb átló a P csúcsponttól a második csúcspontba húzott átló lesz. Ezt úgy tudjuk kiszámolni, hogy a kör középpontját összekötjük az átló két végpontjával, így kapunk egy egyenlőszárú háromszöget. Ennek a háromszögnek a szárai a kör sugara, alapja pedig a kérdéses átló.
Mivel egy szabályos 14 szögből indultunk ki, így az egyenlőszárú háromszög szárszögét (ami a kör középpontjánál van) ki tudjuk számolni:
α = (360⁰/14) * 2 = 51,428⁰ (azért kellett 2-vel megszorozni, mert a P-től 2. csúcspontot kötöttük össze P-vel)
Ebből az egyenlőszárú háromszögből már ki tudjuk számolni az átlót (a háromszög alapja).
Behúzzuk a háromszög magasságát, akkor olyan derákszögű háromszöget kapunk, melynek az átfogója a háromszög szára, tehár r, ismerjük egy szögét: α/2 = 25,714⁰ (mert a magasság felezte a szárszöget) és a szöggel szemközti befogót : x/2 (mert a magasság az alapot is felezte).
Szögfüggvény alkalmazásával megkapjuk x-et:
sin (α/2) = (x / 2) / r
sin 25,714⁰ = (x / 2) / 10
0,4339 = (x / 2) / 10
4,339 = x / 2
8,678 = x
A sokszög legrövidebb átlója 8,678 cm hosszüságú.
Szabályos 14 szög. Köré írható kör sugara: 10 cm.
A leghosszabb átló a köré írható kör átmérője, tehát d = 2 * r = 20 cm.
A legrövidebb átló legyen: x cm.
A legrövidebb átló a P csúcsponttól a második csúcspontba húzott átló lesz. Ezt úgy tudjuk kiszámolni, hogy a kör középpontját összekötjük az átló két végpontjával, így kapunk egy egyenlőszárú háromszöget. Ennek a háromszögnek a szárai a kör sugara, alapja pedig a kérdéses átló.
Mivel egy szabályos 14 szögből indultunk ki, így az egyenlőszárú háromszög szárszögét (ami a kör középpontjánál van) ki tudjuk számolni:
α = (360⁰/14) * 2 = 51,428⁰ (azért kellett 2-vel megszorozni, mert a P-től 2. csúcspontot kötöttük össze P-vel)
Ebből az egyenlőszárú háromszögből már ki tudjuk számolni az átlót (a háromszög alapja).
Behúzzuk a háromszög magasságát, akkor olyan derákszögű háromszöget kapunk, melynek az átfogója a háromszög szára, tehár r, ismerjük egy szögét: α/2 = 25,714⁰ (mert a magasság felezte a szárszöget) és a szöggel szemközti befogót : x/2 (mert a magasság az alapot is felezte).
Szögfüggvény alkalmazásával megkapjuk x-et:
sin (α/2) = (x / 2) / r
sin 25,714⁰ = (x / 2) / 10
0,4339 = (x / 2) / 10
4,339 = x / 2
8,678 = x
A sokszög legrövidebb átlója 8,678 cm hosszüságú.
1
- Még nem érkezett komment!