Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Köré írható kör

20
Egy szabályos sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, mint a nála kettővel nagyobb oldalszámú szabályos sokszögnek.
a) Melyek ezek a sokszögek?
Egy szabályos 14-szög köré írható körének sugara 10 cm, egyik csúcsa P.
b) Határozza meg a leghosszabb és a legrövidebb átló hosszát!
c) Mekkora szöget zár be egymással a P-ből húzható leghosszabb és legrövidebb átló?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
#matek, #érettségi, #12, #hogykell, #koreirhatokor, #atlok
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
1. feladat:
Egy n oldalú sokszög átlóinak száma:
1 csúcsból : n - 3 db átló húzható (saját magába és a szomszédos csúcsokba nem lehet húzni)
n csúcsból : n * ( n - 3) db átló, de ekkor minden átlót 2-szer számoltunk, mert mindkét csúcsból "behúztuk".
Tehát az átlók száma összesen: (n * (n - 3) ) / 2

Az egyik sokszög legyen: x oldalú. Ekkor átlóinak a száma: (x * (x - 3) ) / 2
A feladat feltételei szerint a másik sokszög x + 2 oldalú. Ekkor átlóinak a száma: ( (x + 2) * (x + 2 - 3) ) / 2 = ( (x + 2) * (x - 1) ) / 2

A feladat szerint az első sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, tehát felírható a következő egyenlet:
(x * (x - 3) ) / 2 + 25 = ( (x + 2) * ( x - 1) ) / 2 Rendezzük az egyewnletet. /*2
x * (x - 3) + 50 = (x + 2) * (x - 1)
x2 -3x + 50 = x2 -x + 2x -2
x2 - 3x + 50 = x2 + x - 2 /-x2
-3x + 50 = x - 2 / + 3x
50 = 4x - 2 / + 2
52 = 4x /:4
13 = x

Tehát az egyik sokszög 13 oldalú, a másik pedig 15 oldalú.

Ellenőrzés:
13 oldalú sokszög átlói: (13 * (13 - 3) ) / 2 = ( 13 * 10) / 2 = 130 / 2 = 65 db
15 oldalú sokszög átlói: (15 * (15 - 3) ) / 2 = ( 15 * 12) / 2 = 180 / 2 = 90 db
65 <25 90
1

2. feladat:
Szabályos 14 szög. Köré írható kör sugara: 10 cm.
A leghosszabb átló a köré írható kör átmérője, tehát d = 2 * r = 20 cm.
A legrövidebb átló legyen: x cm.
A legrövidebb átló a P csúcsponttól a második csúcspontba húzott átló lesz. Ezt úgy tudjuk kiszámolni, hogy a kör középpontját összekötjük az átló két végpontjával, így kapunk egy egyenlőszárú háromszöget. Ennek a háromszögnek a szárai a kör sugara, alapja pedig a kérdéses átló.
Mivel egy szabályos 14 szögből indultunk ki, így az egyenlőszárú háromszög szárszögét (ami a kör középpontjánál van) ki tudjuk számolni:
α = (360⁰/14) * 2 = 51,428⁰ (azért kellett 2-vel megszorozni, mert a P-től 2. csúcspontot kötöttük össze P-vel)
Ebből az egyenlőszárú háromszögből már ki tudjuk számolni az átlót (a háromszög alapja).
Behúzzuk a háromszög magasságát, akkor olyan derákszögű háromszöget kapunk, melynek az átfogója a háromszög szára, tehár r, ismerjük egy szögét: α/2 = 25,714⁰ (mert a magasság felezte a szárszöget) és a szöggel szemközti befogót : x/2 (mert a magasság az alapot is felezte).
Szögfüggvény alkalmazásával megkapjuk x-et:
sin (α/2) = (x / 2) / r
sin 25,714⁰ = (x / 2) / 10
0,4339 = (x / 2) / 10
4,339 = x / 2
8,678 = x
A sokszög legrövidebb átlója 8,678 cm hosszüságú.
1