Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

π értékének megadása sokszögekkel

34
A feladat a π értékének minél pontosabb megadása sokszögek segítségével.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A közelítés lényege, hogy veszünk egy egységnyi átmérőjű kört:
d = 1
Ekkor a kör kerülete: Kkör = d * π = 1 * π = π

A kör kerületét úgy próbáljuk meg közelíteni, hogy az egységnyi átmérőjű kör köré rajzolt érintő szabályos sokszögek kerületét számoljuk ki. Minél nagyobb a szabályos sokszög oldalszáma, a kerület annál jobban megközelíti a kör kerületét, vagyis π-t.
Ha a szabályos érintősokszög oldalát a-val jelöljük, akkor kerülete: Ksokszög = n * a (ahol n a sokszög oldalainak száma.
Az adott sokszög oldalhosszát úgy számoljuk ki, hogy az érintő sokszöget egybevágó egyenlőszárú háromszögekre bontjuk úgy, hogy a kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival. A háromszögek száma megegyezik a sokszög oldalainak számával.
Egy ilyen egyenlőszárú háromszög alapja a sokszög oldala, vagyis "a", magassága pedig a kör sugara, vagyis "r". Ennek a háromszögnek a szárszöge : α = 360⁰ / n.
Az "r" magasság felezi az alapot és a szárszöget is.
Az így kapott derékszögű háromszögből szögfüggvény segítségével már ki tudjuk számolni "a"-t.

tg(α/2) = (a/2) / r
tg(α/2) * r = a / 2
tg(α/2) * r * 2 = a
Mivel d = 1, ezért r = d/2 = 1/2
Ekkor kapjuk, hogy a = tg(α/2) * (1/2) * 2 = tg(α/2)

Ksokszög = n * a = n * tg(α/2)

Ha a sokszög szabályos négyszög: (négyzet)
n = 4
α = 360⁰/4 = 90⁰
a = tg(45⁰) = 1
Ksokszög = n * a = 4 * 1 = 4

Ha a sokszög szabályos ötszög:
n = 5
α = 360⁰/5 = 72⁰
a = tg(36⁰) = 0,7265
Ksokszög = n * a = 5 * 0,7265 = 3,6325

Ha a sokszög szabályos hatszög:
n = 6
α = 360⁰/6 = 60⁰
a = tg(30⁰) = 0,5474
Ksokszög = n * a = 6 * 0,5474 = 3,2844

Ha a sokszög szabályos tízszög:
n = 10
α = 360⁰/10 = 36⁰
a = tg(18⁰) = 0,3249196962
Ksokszög = n * a = 10 * 0,3249196962 = 3,249196962

Ha a sokszög szabályos százszög:
n = 100
α = 360⁰/100 = 3,6⁰
a = tg(1,8⁰) = 0,03142626604
Ksokszög = n * a = 100 * 0,03142626604 = 3,142626604

És ezt így lehet folytatni, minél nagyobb az n értéke, annál pontosabban kapjuk meg π
Módosítva: 2 hete
0