A kör egyenlete: x2 + y2 + 4x - 6y + 3 = 0
Az egyenes egyenlete: 3x + y = 1 Ennek normálvektora: n (3 ; 1)
A keresett érintő az adott egyenesre merőleges, azaz normálvektora: ne ( 1 ; -3)
Akkor az érintő egyenlete: x - 3y = b
Mivel érintő, így a körrel egy közös pontja van, azaz a kör és az érintő egyenleteiből álló egyenletrendszernek 1 megoldása van.
Az egyenletrendszer:
I. egyenlet: x - 3y = b
II. egyenlet: x2 + y2 + 4x - 6y + 3 =0

Az I. egyenletből kifejezzük x-et: x = 3y +b
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
(3y + b)2 + y2 + 4*(3y + b) - 6y + 3 = 0
9y2 + 6by + b2 + y2 + 12y + 4b - 6y + 3 = 0
10y2 + 6by + 6y + b2 + 4b + 3 = 0
Az y-os tagokból kiemeljük y-t:
10y2 + (6b + 6)*y + b2 + 4b + 3 = 0
Ennek a másodfokú egyenletnek 1 megoldása van, tehát a diszkriminánsa egyenlő 0-val.
D = (6b + 6)2 - 4 * 10 * (b2 + 4b + 3) = 36b2 + 72b + 36 - 40b2 - 160b - 120 = -4b2 - 88b - 84

-4b2 - 88b - 84 = 0 /:(-4)
b2 + 22b + 21 = 0
D = 222 - 4 * 1 * 21 = 484 - 84 = 400 = 202
b1,2 = ( -22 ± 20) / 2
b1 = (-22 + 20) / 2 = -2 / 2 = -1
b2 = (-22 - 20) / 2 = -42 / 2 = -21

Tehát két érintő felel meg a feltételeknek:
e1 : x - 3y = -1 és
e2 : x - 3y = -21

A kör és az e1 metszéspontja:

10y2 + (6b + 6)*y + b2 + 4b + 3 = 0
b = -1
10y2 + (6*(-1) + 6)*y + (-1)2 + 4 * (-1) + 3 = 0
10y2 + 0*y + 1 - 4 + 3 = 0
10y2 = 0
y2 = 0
y = 0 x = 3 * 0 - 1 = -1
Az e1 érintő és a kör közös pontja (érintési pont) a E1 (-1 ; 0) pont.

A kör és az e2 metszéspontja:

10y2 + (6b + 6)*y + b2 + 4b + 3 = 0
b = -21
10y2 + (6*(-21) + 6)*y + (-21)2 + 4 * (-21) + 3 = 0
10y2 - 120y + 441 - 84 + 3 = 0
10y2 - 120y + 360= 0 /:10
y2 - 12y + 36= 0
y = (12 +0) / 2 = 6 x = 3 * 6 - 21 = 18 - 21 = -3
Az e2 érintő és a kör közös pontja (érintési pont) a E2 (-3 ; 6) pont.

Az a fő, hogy most már minden jó: