Matek hazidolgozat

1. Felírod az AC vektort: AC→(-4;-8), ebből normálvektort képzünk: (8;-4), így az egyenes egyenlete az A ponttal helyettesítve: 8x-4y=8*7-4*4=40, tehát 8x-4y=40, 4-gyel érdemes egyszerűsíteni: 2x-y=10.

2. Az AC oldal felezőpontja fb(5;0), az AC vektor (-4;-8), ez merőleges a keresett egyenesre, tehát ez lesz a normálvektor, így az egyenes egyenlete: -4x-8y=-4*5-8*0=-20, tehát -4x-8y=-20, (-4)-gyel osztva: x+2y=5
A BC oldal felezőpontja fc(0,5;-1,5), a BC vektor: BC→(5;-5), ez is merőleges a keresett egyenesre, tehát: 5x-5y=5*0,5-5*(-1,5)=10, tehát 5x-5y=10, 5-zel osztva x-y=2 a keresett egyenesegyenlet.

3. Ha ezek metszéspontját keressük, akkor egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

x+2y=5 }
x-y=2 }, kivonjuk egymásból a két egyenletet, így eltűnik x:

3y=3, erre y=1 adódik, ezt visszaírjuk valamelyik egyenletbe, én most a másodikba fogom:

x-1=2, tehát x=3, így a metszéspont: O(3;1)

4. Mint ahogy a segédlet is mutatja, ki kell számolnunk az O pont és valamelyik (A,B,C) csúcs távolságát, értelemszerűen az eredmény mindig ugyanaz lesz (ha jól számoltunk, és jól számoltunk); legyen az A pont, azzal nem kell nézni az előjelváltást: először kiszámoljuk az OA vektort: OA→(4;3), ennek hossza: |OA|→√ 4²+3² =5, tehát a kör egyenlete:

(x-3)²+(y-1)²=25.

5. Az AB vektor: AB→=(-9;-3), ez merőleges a magasság egyenesére, tehát normálvektor. A magasságvonal a C ponton halad keresztül, tehát annak koordinátáit kell beírnunk: -9x-3y=-9*3-3*(-4)=-15, tehát az egyenes egyenlete: -9x-3y=-15, (-3)-mal lehet osztani: 3x+y=5.
A BC vektor: BC→(5;-5), ez szintén normálvektor lesz. Az egyenes az A csúcson megy át, tehát: 5x-5y=5*7-5*4=15, tehát 5x-5y=15, 5-tel osztva x-y=3 az egyenlet.

6. Ezek metszéspontját keressük, tehát az előző módon számolhatunk:

3x+y=5 }
x-y=3 }, összeadva a két egyenletet kiesik y: 4x=8, tehát x=2, ebből 2-y=3, vagyis y=-1, tehát a metszéspont: M(2;-1)

7. A súlypont koordinátáit a csúcsok koordinátáinak átlaga adja:

1. koordináta: (7+(-2)+3)/3=8/3
2. koordináta: (4+1+(-4))/3=1/3, tehát S(8/3 ; 1/3)

8. A súlyvonal mindig egy csúcson és a szemközti oldal felezőpontján megy át.
Az AB oldal felezőpontja fc(2,5;2,5), ez a C csúcson megy még keresztül, tehát felírjuk a Cfc vektort: Cfc→(-0,5;6,5), ebből normálvektort képzünk: (6,5;0,5), a C ponttal felírva: 6,5x+0,5y=6,5*3+0,5*(-4)=17,5, 2-vel szorozva 13x+y=35 egyenletet kapjuk.
Az AC oldal felezőpontja fb(5;0), az egyenes a B ponton megy keresztül, tehát Bfb(7;-1), ebből normálvektor lesz: (1;7), így az egyenes egyenlete B-vel felírva: x+7y=-2+7*1=5, tehát x+7y=5.

9. Újra a metszéspont a kérdés, tehát:

13x+y=35 }
x+7y=5 }, az első egyenletet szorozzuk 7-tel:

91x+7y=245 }
x+7y=5}, majd kivonunk egymásból az egyenleteket:

90x=240, vagyis x=240/90=8/3, ezt beírjuk a második egyenletbe:

(8/3)+7y=5, ennek megoldása y=1/3, tehát a metszéspont koordinátái: (8/3 ; 1/3), ez megegyezik a súlyponttal, és nem véletlenül, lévén a súlyvonalak metszéspontja a súlypont.

10. Régebben úgy számoltuk ki egy olyan háromszög szögét, melynek csak 3 oldala volt adott, hogy használtuk a koszinusztételt, ugyanezt itt is megtehetjük, miután kiszámoltuk az oldalakat:

AB→(-9;-3) ⇒ |AB→|=√ 9²+3² =√ 90 
AC→(-4;-8) ⇒ |AC→|=√ 4²+8² =√ 80 
BC→(5;-5) ⇒ |BC→|=√ 5²+5² =√ 50 

Mivel AB és AC hajlásszöge kell, ezért a tételbeli c oldal a BC lesz, tehát:

√ 50 ²=√ 90 ²+√ 80 ²-2*√ 90 *√ 80 *cos(α), vagyis

50=90+80-2*√ 7200 *cos(α), innen egyenletrendezés után kapjuk, hogy
60/√ 7200 =cos(α), kicsit átalakítjuk a számot:

60/√ 7200 =60/(√ 3600*2 )=60/(60*√2)=1/√2=√2/2, tehát:

√2/2=cos(α), ez pedig egy nevezetes szögérték, a cos(45°)-nak az értéke, tehát α=45° a háromszög szöge.