A trigonometrikus területképletből indultam ki.
ugye:


T = (oldal*oldal*közrezártszög)/2

Mindegyik oldalpárra felírjuk ezt, hiszen mindhárom szöget ismerjük.
Ezeket az egyenleteket rendezzük az ismeretlen oldalak szorzatára.
Ekkor oldalak szorzata = a terület kétszerese osztva a közrezárt szög sinusával, ez a tört egy szám, nincs benne ismeretlen.

A következőket kapjuk (egészre kerekített értékekkel dolgoztam az egyszerűség kedvéért.

1. bc = 269
2. ab = 277
3. ac = 208

1.ből fejezzük ki c-t c= 269/b
ezt írjuk be a 3.ba
azt kapjuk, hogy 269a = 208b

fejezzük ki 2.ből b-t, a-val, és ezt írjuk be b helyére

Ekkor az egyenlet a-ra megoldható. kb 14,64-et kaptam.

Innentől egyszerűen kiszámolhatók b és c oldalak.

Természetesen el lehet indulni a másik 2 oldallal is, illetve nem tudom, mennyire kell pontos értékekkel dolgozni.

A másik feladat ugyanezzel a módszerrel megoldható. Olyan nincs, hogy háromszögnek CSAK két szögét ismerjük.

a) T = 103 cm2
α = 50⁰
β = 82⁰
A háromszög belső szögeinek összege 180⁰, ezért γ = 180⁰ - 50⁰ - 82⁰ = 48⁰
A háromszög trigonometrikus területképlete: T = a háromszög két oldalának és a közbezárt szög színuszának szorzata / 2
Ezt a képletet alkalmazzuk ugyanarra a háromszögre, mindhárom sbelső szögével külön-külön.
103 = (a * b * sinγ) /2
206 = a * b * sin48⁰
206 = a * b * 0,7431
I. egyenlet: 277,22 = a * b

103 = (b * c * sinα) / 2
206 = b * c * sin50⁰
206 = b *c * 0,766
II. egyenlet: 268,93 = b * c

103 = (a * c * sinβ) / 2
206 = a * c * sin82⁰
206 = a * c * 0,9903
III. egyenlet: 208,02 = a * c

I. : a * b = 277,22
II. : b * c = 268,93
III. : a * c = 208,02

Az I. egyenletből kifejezzük a-t : a = 277,22 / b
A II. egyenletből kifejezzük c-t : c = 268,93 / b
Ezeket behelyettesítjük a III. egyenletbe:
(277,22 /b) * (268,93 / b) =208,02
74552,7746 / b2 = 208,02
74552,7746 = 208,02 b2
358,392 = b2
18,93 cm = b
Ezt az eredményt visszahelyettesítjük az a-ba és a c-be:
a = 277,22 / b = 277,22 / 18,93 =14,64 cm
c = 268,93 / b = 268,93 / 18,93 = 14,21 cm

Tehát a háromszög oldalai: a = 14,64 cm, b= 18,93 cm és c = 14,21 cm.

b) T = 103 cm2
α = 40⁰16'
β = 72⁰51'
A háromszög belső szögeinek összege 180⁰, ezért γ = 180⁰ - 40⁰16' - 72⁰51' = 139⁰44' - 72⁰51' =66⁰53' mert 1⁰= 60'
A háromszög trigonometrikus területképlete: T = a háromszög két oldalának és a közbezárt szög színuszának szorzata / 2
Ezt a képletet alkalmazzuk ugyanarra a háromszögre, mindhárom sbelső szögével külön-külön.
103 = (a * b * sinγ) /2
206 = a * b * sin66⁰53'
206 = a * b * 0,9197
I. egyenlet: 223,99 = a * b

103 = (b * c * sinα) / 2
206 = b * c * sin40⁰16'
206 = b *c * 0,6463
II. egyenlet: 318,74 = b * c

103 = (a * c * sinβ) / 2
206 = a * c * sin72⁰51'
206 = a * c * 0,9555
III. egyenlet: 215,59 = a * c

I. : a * b = 223,99
II. : b * c = 318,74
III. : a * c = 215,59

Az I. egyenletből kifejezzük a-t : a = 223,99 / b
A II. egyenletből kifejezzük c-t : c = 318,74 / b
Ezeket behelyettesítjük a III. egyenletbe:
(223,99 /b) * (318,74 / b) =215,59
71394,5726 / b2 = 215,59
71394,5726 = 215,59 b2
331,159 = b2
10,2 cm = b
Ezt az eredményt visszahelyettesítjük az a-ba és a c-be:
a = 223,99 / b = 223,99 / 10,2 =21,96 cm
c = 318,74 / b = 318,74 / 10,2 = 31,25 cm

Tehát a háromszög oldalai: a = 21,96 cm, b= 10,2 cm és c = 31,25 cm.