Matematika

Szia!

Segítek, de először Te segíts! A másodfokú egyenletként megoldhatóknál a kettesek nem négyzetek véletlenül?

√ 4-4 ⁰√ 5 √ 9-4 Szia!

Másodfokú egyenletként megoldhatók:
cos2x-3cosx+1=0, legyen cosx=y és cos2x=y2
y2-3y+1=0, a=1, b=-3, c=1 (jöhet a megoldóképlet)
y1,2=(3±√ (-3)négyzet-4*1*1 )/2*1=(3±√ 9-4 )/2=(3±√ 5 )/2=(3±2,236)/2, amiből y1=(3+2,236)/2=2,3819, és y2=(3-2,236)/2=0,3819
Ha y=2,3819, akkor cosx=2,3819 (ami nem jó megoldás, mert minden szög koszinusza -1 és 1 közé esik)
Ha y=0,3819, akkor cosx=0,3819 a számológépes visszakeresés után x=67,54⁰ ami csak fél megoldás lenne, mert a cosinus függvény minden értéket kétszer vesz fel 0-360⁰ között (kivéve a -1-t s az 1-et). Helyesen:
x1=67,54⁰+k*360⁰, és x2=(360⁰-67,54⁰)+k*360⁰=292,46⁰+k*360⁰ k∈Z

tg2x-5tgx+4=0, legyen tgx=y és tg2x=y2
y2-5y+4=0, a=1, b=-5, c=4 (jöhet a megoldóképlet)
y1,2=(5±√ (-5)négyzet-4*1*4 )/2*1=(5±√ 25-16 )/2=(5±√ 9 )/2=(5±3)/2, amiből y1=(5+3)2=4, és y2=(5-3)/2=1
Ha y=4, akkor tgx=4 a számológépes visszakeresés után x=75,96⁰+k*180⁰ k∈Z
Ha y=1, akkor tgx=1 a számológépes visszakeresés után x=45⁰+n*180⁰ n∈Z

sin2x-sinx+0,25=0, hogy ne legyen tizedestört szorozzuk az egyenletet 4-gyel
4sin2x-4sinx+1=0, legyen sinx=y és sin2x=y2
4y2-4y+1=0, a=4, b=-4, c=1 (jöhet a megoldóképlet)
y1,2=(4±√ (-4)négyzet-4*4*1 )/2*4=(4±√ 16-16 )/8=(4±√ 0 )/8=(4±0)/8, amiből csak egy megoldás van y=4/8=1/2
Ha y=1/2, akkor sinx=1/2 a számológépes visszakeresés után x=30⁰, ami csak fél megoldás lenne, mert a sinus függvény minden értéket kétszer vesz fel 0⁰-360⁰ között (kivéve a -1-et s az 1-et). Helyesen:
x1=30⁰+k*360⁰ k∈Z
x2=(180⁰-30⁰)+n*360⁰=150⁰+n*360⁰ n∈Z

Szorzattá alakítással oldható meg:
sinx*cosx-cos2=0, emeljünk ki cosx-et
cosx*(sinx-cosx)=0, egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Tehát
vagy cosx=0, amiből számológépes visszakeresés után x=90⁰+k*360⁰ k∈Z
vagy sinx-cosx=0, amiből sinx=cosx, (ami 0⁰-360⁰ között kétszer fordul elő 45⁰-nál és 225⁰-nál, de pont 180⁰ van közöttük) vagyis x=45⁰+n*180⁰ n∈Z

tg2x-tgx*sinx=0, emeljünk ki tgx-t
tgx*(tgx-sinx)=0, egy szorzat akkor 0 , ha valamelyik tényezője 0. Tehát
vagy tgx=0, amiből számológépes visszakeresés után x=0⁰+k*180⁰
vagy tgx-sinx=0, amiből tgx=sinx. Mivel tgx=sinx/cosx, ezért sinx/cosx=sinx.
sinx/cosx=sinx /*cosx
sinx=sinx*cosx /-sinx
0=sinx*cosx-sinx /emeljünk ki sinx-et
0=sinx*(cosx-1), egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Tehát
vagy sinx=0, amiből számológépes visszakeresés után x=0⁰+n*180⁰
vagy cosx-1=0, cosx=1, amiből x=0⁰+p*360⁰
Tehát az egyetlen megoldás: x=0⁰+k*180⁰

tg2x+ctg2x=2, ctgx=1/tgx, ctg2x=1/tg2x, vagyis
tg2x+1/tg2x=2 /*tg2x
tg4x+1=2tg2x /-2tg2x
tg4-2tg2x+1=0, legyen tg2x=y, és tg4x=y2, akkor
y2-2y+1=0, a=1, b=-2, c=1 (jöhet a megoldóképlet)
y1,2=(2±√ (-2)négyzet-4*1*1 )/2*1=(2±√ 4-4 )/2=(2±√ 0 )/2=(2±0)/2, amiből csak egy megoldás van y=2/2=1
Ha y=1, akkor tg2x=1, amiből tgx vagy 1 vagy -1.
Ha tgx=1, akkor számológépes visszakeresés után x=45⁰+k*180⁰ k∈Z
Ha tgx=-1, akkor számológépes visszakeresés után x=-45+n*180⁰ n∈Z
Így viszont 90⁰-onként van megoldás, tehát összesítve: x=45⁰+p*90⁰ p∈Z

tg2x-2ctg2x=1 felhasználva a tg és ctg között előbb már leírtakat:
tg2x-2/tg2x=1 /*tg2x
tg4x-2=tg2x /-tg2x
tg4x-tg2x-2=0, legyen tg2x=y, és tg4x=y2, akkor
y2-y-2=0, a=1, b=-1, c=-2 (jöhet a megoldóképlet)
y1,2=(1±√ (-1)négyzet-4*1*(-2) )/2*1=(1±√ 1+8 )/2=(1±√ 9 )/2=(1±3)/2, amiből y1=(1+3)/2=2, és y2=(1-3)/2=-1
Ha y=2, akkor tg2x=2, amiból tgx vagy √ 2 , vagy -√ 2 
Ha tgx=√ 2  számológépes visszakeresés után x=54,73⁰+k*180⁰
Ha tgx=-√ 2  számológépes visszakeresés után x=-54,73⁰+k*180⁰
Ha y=-1, akkor tg2x=-1, ami nem értelmezhető.

2cosx=√ 3 *ctgx, ctgx=cosx/sinx
2cosx=√ 3 *cosx/sinx /*sinx
2cosxsinx=√ 3 cosx /-√ 3 cosx
2cosxsinx-√ 3 cosx=0, emeljünk ki cosx-et
cosx*(2sinx-√ 3 )=0, szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Tehát
vagy cosx=0, amiből x=90⁰+k*180⁰
vagy 2sinx-√ 3 =0
2sinx-√ 3 =0 /+√ 3 
2sinx=√ 3  /:2
sinx=√ 3 /2, ami számológépes visszakeresés után x=60⁰+n*360⁰ vagy x=(180⁰-60⁰)+p*360⁰=120⁰+p*360⁰

-2sinx=√ 3 tgx, tgx=sinx/cosx
-2sinx=√ 3 sinx/cosx /*cosx
-2sinxcosx=√ 3 sinx (-√ 3 sinx
-2sinxcosx-√ 3 sinx=0, emeljünk ki -sinx-et
-sinx*(2cosx+√ 3 )=0, sorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Tehát
vagy -sinx=0, amiből számológépes visszakeresés után X=0⁰+k*180⁰
vagy 2cosx+√ 3 =0
2cosx+√ 3 =0 /-√ 3 
2cosx=-√ 3  /:2
cosx=-√ 3 /2, amiből x=150⁰+n*360⁰ vagy x=(360⁰-150⁰)+p*360⁰=210⁰+p*360⁰

2sin2x=tgx, tgx=sinx/cosx és tg2x=sin2x/cos2x
2sin2x=sin2x/cos2x /*cos2x
2sin2x*cos2x=sin2x /-sin2x
2sin2x*cos2x-sin2x=0, emeljünk ki sin2x-et
sin2x*(2cos2x-1)=0, szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Tehát
vagy sin2x=0, sinx=0, amiből x=0⁰+k*180⁰
vagy 2cos2x-1=0
2cos2x-1=0 /+1
2cos2x=1 /:2
cos2x=1/2 /√  
cosx vagy √ 2 /2, amiből x=45⁰+n*360⁰ vagy x=(360⁰-45⁰)+p*360⁰=315⁰+p*360⁰
vagy cosx -√ 2 /2, amiből x=135⁰+s*360⁰ vagy x=(360⁰-135⁰)+t*360⁰=225⁰+t*360⁰
Összesítve a megoldásokat: x=0⁰+k*180⁰, vagy x=45⁰+n*90⁰