Szia!

A megoldás, hogy minden második oldal felezőpontját kell összekötni.

Valóban a második oldalak felezőpontjait kell összekötni. Ahhoz, hogy ez a legkisebb, két dolgot kell belátni:
1) Ha kijelölünk egy pontot a hatszög kerületén, az egyértelműen meghatározza a háromszög többi csúcsát.
2) Szabályos háromszög területe egyenesen arányos súlyvonala hosszának négyzetével.

Az elsőt úgy láthatjuk be, hogy felvesszük a hatszög köréírt körének középpontját. Kössük ezt össze egy általunk kiválaszott ponttal. Forgassuk el 120 fokkal ezt a szakaszt a középpont körül, majd mégegyszer. Ezzel egyértelműen kijelöltük a háromszög három csúcsát, mivel máshogy nem helyezkedhetnek el szabályos háromszög csúcsai (a csúcs középpont szakaszok 120 fokos szöget zárnak be). (Persze azt nem láttuk be, hogy a szakasz másik végpontja egyáltalán a hatszög kerületére fog érkezni forgatás után, sőt azt se, hogy ha igen, akkor ezek szabályos háromszöget alkotnak. Ez nyilván így lenne, de nem szükséges belátni, mivel az állítás azt igazolja, hogy minden ponthoz legfeljebb egy háromszög tartozhat, és ennyi elég, szóval ezt most nem bizonyítom)

A másodiknál jelölje a háromszög súlyvonalának hosszát `s`. Ekkor tudjuk, hogy a háromszög oldalának hossza `(2s)/sqrt(3)`, a magassága pedig `s` (mivel a súlyvonal egybeesik a magassággal). A területe tehát `(2s^2)/(2sqrt(3))=s^2/sqrt(3)`, azaz négyzetesen arányos a súlyvonal hosszával.

Ezután elég azt észrevenni, hogy a kerületen kijelölt pont és a középpont által meghatározott szakasz egybeesik a háromszög súlyvonalával. A középpont ennek harmadolópontja, tehát a kijelölt pont és a középpont távolsága `2/3s`. Ezt kell minimalizálnunk, hogy a terület a lehető legkisebb legyen. Ez a távolság akkor a lgekisebb, ha az oldal felezőpontja a kijelölt pont (belátható pl. Pithagorasz-tétellel).
(Ekkor persze meg kell azt vizsgláni, hogy így valóban keletkezik-e egyenlő oldalú háromszög, mert ezt ugye nem láttuk be.)