Matek 10

1. feladat:
A függvénynek ott van zérushelye, ahol metszi az x-tengelyt, vagyis, ahol a függvény hozzárendelési utasítása egyenlő 0-val.
|x|-1=0
|x|=1 -> x1=1 x2=-1
Mindkét eredmény benne van az értelmezési tartományban, tehát -1 és 1 is zérushelyek.

2. feladat:
A gondolt szám: x
A gondolt szám fele: x/2
A gondolt szám feléből kivonunk 5-öt: x/2-5
A különbséget megszorozzuk 4-gyel: (x/2-5)*4
A kapott számhoz hozzáadunk 8-at: (x/2-5)*4+8
Az egyenlet:
(x/2-5)*4+8=x/2
Rendezzük az egyenletet!
2x-20+8=x/2
2x-12=x/2 /*2
4x-24=x /-4x
-24=-3x /:(-3)
8=x
A gondolt szám a 8.
Ellenőrzés:
A gondolt szám fele: x/2 =4
A gondolt szám feléből kivonunk 5-öt: x/2-5 =-1
A különbséget megszorozzuk 4-gyel: (x/2-5)*4 = -4
A kapott számhoz hozzáadunk 8-at: (x/2-5)*4+8 = 4 4 pedig a gondolt szám fele, tehát a megoldás jó.

3. feladat:
Az adott függvény: f(x)= 0,0001x2-0,0063x+15,2
2000-ben a középhőmérséklet:
1900-tól 99 év telt el 2000-ig, tehát x=99. Ezt behelyettesítve f(x)-be kapjuk, hogy:
f(99)= 0,0001*992 - 0,0063*99 + 15,2 = 15,5564 ⁰C
Tehát 2000-ben 15,5554 ⁰C volt a középhőmérséklet.

2020-ban a középhőmérséklet:
1900-tól 119 év telt el 2020-ig, tehát x=119. Ezt behelyettesítve f(x)-be kapjuk, hogy:
f(119)= 0,00001*1192 - 0,0063*119 + 15,2 = 15,8664 ⁰C
Tehát 2020-ban 15,8664 ⁰C volt a középhőmérséklet.

A 2020-as és 2000-es középhőmérséklet különbsége: 15,8664 ⁰C - 15,5564 ⁰C = 0,31 ⁰C

Vagyis 0,31 ⁰C-kal volt magasabb a középhőmérséklet 2020-ban, mint 2000-ben.

4. a) feladat:
Függvényérték kiszámolása úgy történik, hogy az adott x-et behelyettesítjük a függvény hozzárendelési utasításába.
x = 3 benne van az értelmezési tartományban, tehát létezik hozzá tartozó függvényérték.
Kiszámolása:
f(3) = (3 - 1)2 - 5 = 22 -5 = 4 - 5 = -1
Tehát a függvény a 3-hoz a -1-et rendeli.

4. b) feladat:
Ábrázolás: csatoltam képet.
Jellemzés:

Monotonítás:
A grafikon alapján a függvény a [-1 ; 1[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, az ]1; 4] intervallumon szigorúan monoton növekvő. (x-tengelyen nézzük)

Szésőérték:
A függvénynek minimuma van x = 1 helyen, ahol a minimumérték f(1) = -5.
Tehát az (1 ; -5) pontban van a függvénynek minimuma.

Zérushely: Ott van, ahol a függvény hozzárendelési utasítása egyenlő 0-val, azaz
(x - 1)2 - 5 = 0
( x - 1)2= 5
x - 1 = ± √ 5 
x = 1 ±√ 5 
Az 1 - √ 5  nincs benne az értelmezési tartományban, tehát a függvénynek 1 zérushelye van, az x = 1 + √ 5 .

Értékkészlet: A függvény milyen értékeket vesz fel az y-tengelyen.
ÉK.: (vagy Rf) y∈[-5 ; 4]

5. feladat: Csatoltam a megoldást

4. b) feladat ábrázolása