Matek házi 5. - geometria

Azt tudjuk, hogy a magasság két részre osztja az átfogót; ha az egyik rész x, akkor a másik rész 15-x hosszú. A magasságtétel értelmében tudjuk, hogy a részek mértani közepe a magasság, tehát:

√ x*(15-x) =7,3, négyzetre emelünk:
x*(15-x)=53,29, kibontjuk a zárójelet és rendezzük az egyenletet:
0=x²-15x+53,29, ezt meg tudjuk oldani; x₁=~5,58 és x₂=9,22 cm, nem véletlen, hogy ezek összege pont 15, mivel mindegy, hogy melyik részt nevezzük el x-nek.

Innen már könnyű befejezni; a magasság két derékszögű háromszögre bontja a nagy háromszöget, így két Pitagorasz-tételből meglesznek a befogók is, de akár a befogótételt is lehet használni, innen pedig a szögek, a kerület és a terület is hamar kijön.

A kör beírt körére két lehetőség van; az egyik lehetőség, hogy használjuk a T=r*s képletet, ahol T a háromszög területe, r a beírt kör sugara, s pedig a félkerület, vagyis s=K/2. Ha ezt esetleg nem tudjuk, akkor azt kell tudnunk, hogy a beírt kör középpontja a szögfelezők metszéspontjában van, tehát behúzunk két szögfelezőt, az a derékszögű háromszögből kivág egy háromszöget. Erről a háromszögről 1 oldal és 2 szög ismert, ezekből ki lehet számolni a harmadik szöget (a belső szögek összege 180°), szinusztétellel kiszámoljuk az egyik oldal hosszát, és, ha ez megvan, akkor az adott oldalhoz tartozó magasság hosszát már ki tudjuk számolni úgy, hogy felírjuk a magasság behúzásával keletkezett derékszögű háromszög ismert szögére annak szinuszát. A magasság egybeesik a beírt kör sugarával, azért azt számoljuk.