Szegény Fourier francia volt, náluk meg nem nagyon szokás kimondani az utolsó pár betűt, de helyesen Fourier, nem Fourie.

Sokféle Fourier-sor létezik attól függően, hogy milyen bázisfüggvényrendszert használunk. Lehetnek az együtthatók komplexek vagy valósak, ha valósak, akkor használhatunk szinuszos és koszinuszos komponenseket, vagy csak egyfélét, de eltérő fázissal. Én alább a nulla kezdőfázisú szinuszokból és koszinuszokból álló sort számítom ki. Ennek alakja:

`f(x) = A_0 + sum_{n=1}^{oo} [A_n cos(nx) + B_n sin(nx)]`

A nullás indexű együttható a függvény középértéke:

`A_0 = 1/(2pi) int_{-pi}^{pi} f(x) dx``=``1/(2pi) int_{0}^{pi} (x+1) dx ``=``1/(2pi)[x^2/2+x]_0^{pi}``=``(pi^2/2+pi)/(2pi)``=``pi/4+1/2`

A koszinuszos tagok együtthatói:

`A_n = 1/(pi) int_{-pi}^{pi} f(x) cos(nx) dx``=``1/(pi) int_{0}^{pi} (x+1)cos(nx) dx``=``1/(pi) int_{0}^{pi} xcos(nx) dx+1/(pi) int_{0}^{pi} cos(nx) dx``=``1/pi [(cos(nx))/n^2+(x sin(nx))/n]_0^{pi}+1/pi [(sin(nx))/n]_0^{pi}``=``1/pi[(cos(n pi))/n^2+(pi sin(n pi))/n+(sin(n pi))/n-(cos0)/n^2-(0*sin0)/n-(sin0)/n]``=``1/pi[((-1)^n)/n^2+0+0-1/n^2-0-0]``=``((-1)^n-1)/(pi n^2)`

Vagyis ha `n` páros, akkor `A_n=0`, ha `n` páratlan, akkor pedig `A_n=-2/(pi n ^2)`.

A szinuszos tagok együtthatói:

`B_n = 1/(pi) int_{-pi}^{pi} f(x) sin(nx) dx``=``1/(pi) int_{0}^{pi} (x+1)sin(nx) dx``=``1/(pi) int_{0}^{pi} xsin(nx) dx+1/(pi) int_{0}^{pi} sin(nx) dx``=``1/pi [(sin(nx))/n^2-(x cos(nx))/n]_0^{pi}+1/pi [-(cos(nx))/n]_0^{pi}``=``1/pi[(sin(n pi))/n^2-(pi cos(n pi))/n-(cos(n pi))/n-(sin0)/n^2+(0*cos0)/n+(cos0)/n]``=``1/pi[0-(pi (-1)^n)/n-((-1)^n)/n-0+0+1/n]``=``(1-(-1)^n-pi(-1)^n)/(npi)`

Vagyis ha `n` páros, akkor `B_n=-1/n`, ha `n` páratlan, akkor pedig `B_n=(2+pi)/(n pi)`.

Innen a függvény közelítése az első néhány együttható alapján:

`f(x)~~pi/4+1/2-2/pi cos(x)+(2+pi)/pi sin(x)-1/2sin(2x)-2/(9pi)cos(3x)+(2+pi)/(3pi)sin(3x)+...`

Mellékeltem egy képet arról, hogy az eredeti függvényhez (kék) képest hogyan néz ki az első néhány együtthatót tartalmazó közelítés (piros). Megfigyelheted, hogy a széleken van egy hullámzás, ami sosem akar eltűnni, sőt mintha egyre nagyobb lenne. Ezt Gibbs-oszcillációnak hívják, és az okozza, hogy az eredeti függvényben szakadások vannak. A szakadásos függvény ugyebár nem deriválható, márpedig véges darab szinusz és koszinusz (tehát deriválható függvények) összege mindenképp deriválható lesz, ezért a szakadásos helyeken véges együtthatóval sosem lesz egzakt a közelítés. Sőt, amikor a válaszom legelején egyenlőségjelet tettem az `f(x)` függvény és a sorfejtett alakja közé, ott nem voltam egészen precíz: a sor csak `L_2` normában konvergál a függvényhez, ami nem jelent pontonkénti konvergenciát.