Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Sorfejtés

37
Csatoltam a képet!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
sorfejtés
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Kiindulhatnánk a Taylor-sor definíciójából is, de az egymás utáni deriválgatások egy ilyen függvénynél elég macerásak lennének. Ehelyett inkább bontsuk fel a racionális törtfüggvényt parciális törtekre:

`f(x)=(x-3)/(2x^2+3x-2)``=``(x-3)/((2x-1)(x+2))``=``1/(1-2x)+1/(2+x)``=``1/(1-2x)+(1/2)/(1+x/2)`

Így már csak az `1/(1+cx)` függvényt kell sorba fejtenünk, abból össze tudjuk rakni `f(x)` sorát is. Ennek deriváltjai:

`d/(dx) (1+cx)^-1=-c(1+cx)^-2`

`(d^2)/(dx^2) (1+cx)^-1=2c^2(1+cx)^-3`

`(d^3)/(dx^3) (1+cx)^-1=-6c^3(1+cx)^-4`

`(d^n)/(dx^n) (1+cx)^-1=(-1)^n*n!*c^n*(1+cx)^-(n+1)`

Vagyis az `1/(1+cx)` függvény `n`-edik deriváltja az `x=1` helyen:

`((-1)^n*n!*c^n)/((1+c)^(n+1))`

Innen az 1 körüli sor:

`1/(1+cx)=sum_{n=0}^{oo}((-1)^n*c^n)/((1+c)^(n+1))(x-1)^n`

Az eredeti `f(x)` függvény két ilyen tagból áll, az egyikben `c=-2`, a másikban `c=1/2`. Tehát:

`f(x)=sum_{n=0}^{oo}((-1)^n*(-2)^n)/((-1)^(n+1))(x-1)^n+1/2 sum_{n=0}^{oo}((-1)^n*(1/2)^n)/((3/2)^(n+1))(x-1)^n``=``-sum_{n=0}^{oo}(-2)^n(x-1)^n+sum_{n=0}^{oo}((-1)^n)/(3^(n+1))(x-1)^n``=``sum_{n=0}^{oo}[((-1)^n)/(3^(n+1))-(-2)^n](x-1)^n``=``sum_{n=0}^{oo}((-1)^n-3*(-6)^n)/(3^(n+1))(x-1)^n``=``sum_{n=0}^{oo}(-1)^n (1-3*6^n)/(3^(n+1))(x-1)^n``=``-2/3+17/9(x-1)-107/27(x-1)^2+647/81(x-1)^3-...`
1