Szóval még mindig aktuális

Akkor nézzük:

a) Vigyük át a jobb oldalra azt az x-et: √ 2-2x =x-13, ezután négyzetre emelünk, de a jobb oldalon NEM TAGONKÉNT, hanem az (a-b)²=a²+2ab+b² azonosság szerint:

2-2x=x²-26x+169, ezt az egyenletet, szerintem, már meg tudod oldani. Mivel az elején lespóroltuk a kikötést, ezért a végeredményeket ellenőrizni kell az eredeti egyenletben.

b) Egy tört értéke akkor nagyobb, mint 0, ha pozitív, és akkor pozitív, hogyha a számláló és a nevező előjele azonos, ezért két lehetőség van:

1. eset: mindkettő pozitív, tehát 2x-8>0 ÉS 5+x>0, tehát x>4 ÉS x>-5, ezek egyszerre x>4-re teljesülnek.

2. eset: mindkettő negatív, ekkor 2x-8<0 ÉS 5+x<0, tehát x<4 ÉS x<-5, ezek x<-5-re lesznek egyszerre igazak.

Tehát az egyenlőtlenség megoldása: x>4 vagy x<-5.

c) Felszorzunk a nevezővel: lg(x-100)=4-2*lg(50), írjuk át a 4-et 10-es alapú logaritmusra: 4=lg(10000), tehát:

lg(x-100)=lg(10000)-2*lg(50), 2*lg(50)-re használjuk az azonosságot, így lesz belőle lg(50²)=lg(2500), tehát:

lg(x-100)=lg(10000)-lg(2500), újabb azonosság szerint: lg(10000)-lg(2500)=lg(10000/2500)=lg(4), tehát:

lg(x-100)=lg(4), a logaritmusfüggvény szigorúan monoton, ezért ezek csak úgy lehetnek egyenlőek, hogyha lg()-n belül ugyanaz a szám áll, vagyis:

x-100=4, így x=104 az eredmény.

d) A második egyenletből y=-x-4 adódik, ezt írjuk az első egyenletben y helyére:

x²+(-x-4)²=16, kibontjuk a zárójelet:
x²+x²+8x+16=16, rendezés után:
2x²+8x=0, kiemelünk 2x-et:
2x*(x+4)=0, egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, tehát vagy x₁=0, vagy x₂=-4, de természetesen a megoldóképlettel is ugyanez fog kijönni.

Mivel y=-x-4 volt, ezért
y₁=-0-4=-4, tehát egyik megoldás: (x;y)=(0;4)
y₂=-(-4)-4=0, tehát a másik megoldás: (x;y)=(4;0)

Nem meglepő, hogy egymás fordítottjai az eredmények, mivel ha az egyenletben x-et és y-t felcserélnénk, ugyanazt az egyenletrendszert kapnánk,, csak a tagok sorrendje lenne más.

e) Tudjuk, hogy sin²(x)+cos²(x)=1, nekünk most cos²(x)+cos²(x)+sin²(x)-1=0 van, így az összeget lecserélhetjük 1-re: cos²(x)+1-1=0, tehát cos²(x)=0, tehát cos(x)=0, ennek megoldása x= π/2 +k*2π, ahol k tetszőleges egész szám.

f) A hatványozás azonosságai szerint a hatványok szétbonthatóak:

9x+(1/2)=9x*91/2=9x*3
3x-1=3x/3, tehát az egyenlet:

9x*3+26*3x/3-1=0

A hatványozás azonosságai szerint 9x átírható (3x)² alakra, tehát:

(3x)²*3+26*3x/3-1=0, a jobb áttekinthetőség kedvéért legyen 3x=z, így:

z²*3+26*z/3-1=0, szorunk 3-mal:
9z²+26z-3=0, ez egy másodfokú egyenlet, amit már meg tudunk oldani, megoldásai: z₁=1/9, z₂=-3, és mivel z=3x, ezért:

3x=1/9, ennek megoldása az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt x=-2
3x=-3, ennek pedig nincs megoldása, mert minden pozitív szám minden valós hatványa pozitív, a -3 pedig nem pozitív.

g) Újabb esetszétválasztás szükséges; ha az ||-en belül a kifejezés értéke pozitív vagy 0, tehát ha 2x-5≥0 → x≥5/2, akkor annak ||-e önmaga, tehát:

2x-5=x-1, tehát x=4, ez megfelel a kikötésnek. Ha viszont negatív, tehát ha x<5/2, akkor ||-e az ellentettje lesz, tehát:

-2x+5=x-1, ennek megoldása x=2, ez is megfelel a kikötésnek (azért érdemes ellenőrizni).

h) Hogy neked is legyen egy kis dolgod, ezt meghagyom neked. Annyit segítek, hogy (3x-3) lesz a közös nevező.

Ha valami nem világos, vagy nem sikerül kiszámolni, kérdezz!