Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldás
rebeka_20
kérdése
242
A következő differenciálegyenletnek kéne az általános megoldását megadnom, azonban ezzel a típussal még nem találkoztam korábban (hogy a^2 is van benne), előre is köszönöm a segítségeteket!
x' - 2/t*x + 2a^2/t^2 = 0
x' - 2/t*x + 2a^2/t^2 = 0
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
differenciálegyenlet, elsőrendű, lineáris
differenciálegyenlet, elsőrendű, lineáris
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
válasza
Az eredeti egyenlet:
`x'-2/t x + (2a^2)/(t^2)=0`
Osszunk le `t^2`-tel:
`1/t^2 x'-2/t^3 x + (2a^2)/(t^4)=0`
Ez arra volt jó, hogy így az egyik együttható éppen a másik deriváltja lesz: `d/(dt) (1/t^2)=-2/t^3`. Helyettesítsük ezt be:
`1/t^2 * d/(dt)(x)+d/(dt)(1/t^2) * x + (2a^2)/(t^4)=0`
Az első két tagban éppen a szorzat deriválásának szabálya ismerhető fel (`(fg)'=f*g'+g'*f`). Tehát:
`d/(dt) (x/t^2)+(2a^2)/t^4=0`
Ezt már lehet integrálni:
`x/t^2+ int (2a^2)/t^4 dt=0`
`x/t^2- (2a^2)/(3t^3)+c=0`
Innen pedig a megoldás:
`x=(2a^2)/(3t)+Ct^2`
`x'-2/t x + (2a^2)/(t^2)=0`
Osszunk le `t^2`-tel:
`1/t^2 x'-2/t^3 x + (2a^2)/(t^4)=0`
Ez arra volt jó, hogy így az egyik együttható éppen a másik deriváltja lesz: `d/(dt) (1/t^2)=-2/t^3`. Helyettesítsük ezt be:
`1/t^2 * d/(dt)(x)+d/(dt)(1/t^2) * x + (2a^2)/(t^4)=0`
Az első két tagban éppen a szorzat deriválásának szabálya ismerhető fel (`(fg)'=f*g'+g'*f`). Tehát:
`d/(dt) (x/t^2)+(2a^2)/t^4=0`
Ezt már lehet integrálni:
`x/t^2+ int (2a^2)/t^4 dt=0`
`x/t^2- (2a^2)/(3t^3)+c=0`
Innen pedig a megoldás:
`x=(2a^2)/(3t)+Ct^2`
0
- Még nem érkezett komment!