Algebra

Az első lehetőség az, hogy teljes négyzetté alakítod:

(x+0,5)²+0,75, a négyzetes tag értéke legalább 0, így a az összeg értéke legalább 0,75, tehát mindig nagyobb lesz 0-nál.

Másik lehetőség, hogy megnézed a gyökeit, vagyis megoldod az x²+x+1=0 egyenletet, és azt látod, hogy a gyökjel alá -3 kerül, ez azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs valós megoldása, vagyis a kifejezés függvénygörbéje nem metszi az x tengelyt, így két lehetőség van; vagy mindig az x-tengely felett mozog a függvény, vagy mindig alatt (ez a kijelentés azért igaz, mivel a függvény folytonos). Tehát beírunk tetszőleges számot x helyére, a legegyszerűbb 0-t írni, ott a függvényérték 1, ezzel igazoltuk, hogy mindig az x-tengely fölött lesz a függgvény, tehát mindig pozitív.

Általánosan azt lehet elmondani, hogyha nincs gyöke a másodfokú kifejezésnek, és a főegyüttható (x² száma) pozitív (most 1), akkor mindig pozitív függvényértékeket vesz fel a függvény, ha pedig negatív, akkor mindig negatívat.