Dani 20/3 másodperc múlva ér a másik csúcsba, és ennek többszöröseikor lesz olyan csúcsban, ahol esetleg találkozhat Dezsővel.

Dezső 10·√2 métert 10·√2/3 másodperc alatt tesz meg, és ennek többszöröseikor lesz olyan csúcsban, ahol esetleg találkozhat Danival.

A 20/3 racionális szám, a 10·√2/3 pedig irracionális. Ezek többszörösei is olyanok. Ez az ötlet, innen már megy, ugye?
(Soha nem találkoznak...)

-----

6.
Jég: m₁=200 g, -20 °C
gőz: m₂=10 g, 110 °C

cjég = 2100 J/kgK = 2,1 J/gK
Lo = 334 kJ/kg = 334 J/g
cgőz = 1,9 kJ/kgK = 1,9 J/gK
Lf = 2256 kJ/kg = 2256 J/g
cvíz = 4200 J/kgK = 4,2 J/gK

Ami biztos, az az, hogy a végén egyetlen közös hőmérséklet lesz. Amit nem lehet biztosan tudni, az az, hogy milyen lesz a halmazállapot. Tegyük fel, hogy folyékony lesz... számoljunk úgy.

Tehát T °C lesz, ami 0 és 100 között van.
A jég először felmelegszik 0 fokra, aztán megolvad (0 fokon), aztán a víz felmelegszik T fokra.
Ehhez ennyi hő kell:
-20°C → 0°C: cjég·m₁·ΔT₁ = 2,1·200·20 = 4200 J
megolvad: Lo·m₁ = 334·200 = 66800 J
0°C → T°C: cvíz·m₁·ΔT₂ = 4,2·200·T = 840·T

A gőz először lehűl 100 fokra, aztán lecsapódik (100 fokon), majd lehűl T fokra. Eközben ennyi hő szabadul fel:
110°C → 100°C: cgőz·m₂·ΔT₃ = 1,9·10·10 = 190 J
lecsapódik: Lf·m₂ = 2256·10 = 22560 J
100°C → T°C: cvíz·m₂·ΔT₄ = 4,2·10·(100-T) = 4200 J - 42·T

Elvileg most az jön, hogy felírjuk, hogy a két hő egyenlő:
4200 + 66800 + 840·T = 190 + 22560 + 4200 - 42·T
viszont ránézésre is látszik, hogy még T=0°C esetén is sokkal nagyobb a bal oldal, mint a jobb. Vagyis a 10 gramm gőz hiába hűl 0 fokra, nem ad annyi hőt, amennyi ahhoz kell, hogy felolvadjon a 200 gramm jég.

Módosítanunk kell a feltételezést. Nem víz lesz a közös halmazállapot. Nem is jég lesz, vagyis nem az lesz, hogy a gőz megfagy, mert akkor a bal oldalon a 4200-nál kisebb szám lenne, pedig a jobb oldal annál jóval több. Tehát az lesz, hogy víz és jég 0 fokos keveréke lesz a végén. Vagyis a jég egy része felmelegszik 0 fokra, a másik része meg is olvad (de 0 fokos marad), a gőz pedig lehűl 0 fokra.
Az előzőhöz képest a változás annyi, hogy T=0 és a jégből csak m₃ olvad meg:
megolvad: Lo·m₃ = 334·m₃

És most az egyenlet: a két hő megegyezik:
4200 + 334·m₃ = 190 + 22560 + 4200
m₃ = 68,1 g
Ennyi jég olvadt vízzé a 200 grammból. (A 10 gramm gőzből is víz lett persze.)

Vagyis lesz 131,9 gramm 0 fokos jég és 78,1 g 0 fokos víz.