Sorozatok 12.

Legyen a legfiatalabb gyerek kora x, ekkor testvérei x+d és x+2d korúak. A feladat szerint a testvérek életkora 30 év, tehát:

x+x+d+x+2d=30, ennek megoldása x+d=10, vagyis a középső gyerek 10 éves, a többiek így felírhatóak 10-d és 10+d alakban. Mivel Sanyi édesapja 32 évvel idősebb Sanyinál, ezért az ő életkora 10+d+32=42+d. A feladat azt mondja, hogy a két kisebb gyerek és az apa életkora mértani sorozatot alkotnak, vagyis a szomszédos tagok hányadosa ugyanaz, így:

10/(10-d)=(42+d)/10, szorzunk a nevezőkkel:

100=420-32d-d², redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

d²+32d-320=0, ennek megoldásai d=-40 (ez értelemszerűen nem lehet megoldás), és d=8, így már mindenki életkora megadható: 2; 10; 18; 50, látható, hogy minden feltétel teljesül. Anyuka életkora 45 év.

A fenti egyenlet más alakban is felírható, hogyha ismerjük az összefüggést; ha egy mértani sorozat valamelyik elemét kiválasztjuk, majd tőle szimmetrikusan kiválasztjuk az elemeket, akkor ennek a kettőnek a mértani közepe az elsőnek kiválasztott tag. Esetünkben 10 lenne középen, a másik két tag x-10 és x+42, tehát:

10=√ (10-x)*(x+42) 

Ha valami nem világos, kérdezz!