Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Lebesgue integrál
Joseph
{ Fortélyos } kérdése
662
Fel tenném inkább másképp a kérdést...
Gyakorlati példán keresztül... Valaki megmutathatná, hogy hogyan számoljuk ki, legyen mondjuk valami egyszerű f(x)=-x^2+4 függvény alatti területet, a két zérushely között. De Lebesgue integrál segítségével. Nem tudom, hogy Lebesgue-el mit, s hogyan lehet, de kíváncsi vagyok rá
Gyakorlati példán keresztül... Valaki megmutathatná, hogy hogyan számoljuk ki, legyen mondjuk valami egyszerű f(x)=-x^2+4 függvény alatti területet, a két zérushely között. De Lebesgue integrál segítségével. Nem tudom, hogy Lebesgue-el mit, s hogyan lehet, de kíváncsi vagyok rá
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Terület, Matematika, integrál, Lebesgue
Terület, Matematika, integrál, Lebesgue
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Az elvi külöbség a Riemann integrálhoz képest az, hogy a Lebesgue az x tengelyen nem folytonos intervallumokkal dolgozik, hanem halmazokkal és azok mértékével.
Szokták úgy rajzolni, hogy a Riemann kis függőleges oszlopokkal közelíti a területet, a Lebsque pedig vízszintesekkl, mint ezen az abrán:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration#/media/File:RandLintegrals.png
... de ez eléggé durva közelítés, csak folytonos függvényeknel értelmezhető ez így vízszintes téglalapokkal. Pont az a lényeg, hogy nem kell nekik igazi téglalapoknak lenni, szóval a "téglalapok" szélessége nem kell folytonos legyen. A lényeg, hogy legyen rajta értelemzve egy µ mérték. (Folytonos intervallum esetén a mérték megegyezik az intervallum szélességével.)
A példád azért nem igazi, mert ez egy folytonos függvény, úgyhogy ezt pont ugyanúgy integrálja Lebesgue is, mint Riemann. Lehet bohóckodni vízszintes téglalapokkal, de nem az a fontos. Van egy tétel, amely szerint ha egy függvény Riemann integrálható (vagyis véges sok pont van csak, amin a függvény nem folytonos), akkor a Lebesgue integrál megegyezik a Riemann-nal, tehát lehet simán Riemann-nal kiszámolni a Lebesgue-t is.
A különbség a "csúnya" függvényeknel jön be, mint pl. a Dirichlet-függvény, ami 1 akkor, ha x ∈ Q , egyébként pedig 0. Ez nem Riemann integrálható. Ekkor mondjuk a [0, 1] intervallumon vett ∫ f(x) dµ Lebsgue integrál úgy alakul, hogy az egyik halmaz legyen mondjuk a [0, 1]-beli irracionálisok halmaza. Ennek a "téglalapja" 0 magas, úgyhogy ennek tuti 0 a "területe". A másik halmaz a racionálisok, ennek "téglalapja" 1 magas, és kérdés, hogy mennyi a "téglalap" vízszintesének a mértéke. Egy legfeljebb megszámlálható halmaznak a Lebesgue mértéke 0, ezért mivel Q ∩ [0, 1] megszámlálhatóan végtelen, ezért a mértéke 0, így a Lebesgue integrál értéke 0.
Szokták úgy rajzolni, hogy a Riemann kis függőleges oszlopokkal közelíti a területet, a Lebsque pedig vízszintesekkl, mint ezen az abrán:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration#/media/File:RandLintegrals.png
... de ez eléggé durva közelítés, csak folytonos függvényeknel értelmezhető ez így vízszintes téglalapokkal. Pont az a lényeg, hogy nem kell nekik igazi téglalapoknak lenni, szóval a "téglalapok" szélessége nem kell folytonos legyen. A lényeg, hogy legyen rajta értelemzve egy µ mérték. (Folytonos intervallum esetén a mérték megegyezik az intervallum szélességével.)
A példád azért nem igazi, mert ez egy folytonos függvény, úgyhogy ezt pont ugyanúgy integrálja Lebesgue is, mint Riemann. Lehet bohóckodni vízszintes téglalapokkal, de nem az a fontos. Van egy tétel, amely szerint ha egy függvény Riemann integrálható (vagyis véges sok pont van csak, amin a függvény nem folytonos), akkor a Lebesgue integrál megegyezik a Riemann-nal, tehát lehet simán Riemann-nal kiszámolni a Lebesgue-t is.
A különbség a "csúnya" függvényeknel jön be, mint pl. a Dirichlet-függvény, ami 1 akkor, ha x ∈ Q , egyébként pedig 0. Ez nem Riemann integrálható. Ekkor mondjuk a [0, 1] intervallumon vett ∫ f(x) dµ Lebsgue integrál úgy alakul, hogy az egyik halmaz legyen mondjuk a [0, 1]-beli irracionálisok halmaza. Ennek a "téglalapja" 0 magas, úgyhogy ennek tuti 0 a "területe". A másik halmaz a racionálisok, ennek "téglalapja" 1 magas, és kérdés, hogy mennyi a "téglalap" vízszintesének a mértéke. Egy legfeljebb megszámlálható halmaznak a Lebesgue mértéke 0, ezért mivel Q ∩ [0, 1] megszámlálhatóan végtelen, ezért a mértéke 0, így a Lebesgue integrál értéke 0.
0
- Még nem érkezett komment!