Az elvi külöbség a Riemann integrálhoz képest az, hogy a Lebesgue az x tengelyen nem folytonos intervallumokkal dolgozik, hanem halmazokkal és azok mértékével.
Szokták úgy rajzolni, hogy a Riemann kis függőleges oszlopokkal közelíti a területet, a Lebsque pedig vízszintesekkl, mint ezen az abrán:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration#/media/File:RandLintegrals.png
... de ez eléggé durva közelítés, csak folytonos függvényeknel értelmezhető ez így vízszintes téglalapokkal. Pont az a lényeg, hogy nem kell nekik igazi téglalapoknak lenni, szóval a "téglalapok" szélessége nem kell folytonos legyen. A lényeg, hogy legyen rajta értelemzve egy µ mérték. (Folytonos intervallum esetén a mérték megegyezik az intervallum szélességével.)

A példád azért nem igazi, mert ez egy folytonos függvény, úgyhogy ezt pont ugyanúgy integrálja Lebesgue is, mint Riemann. Lehet bohóckodni vízszintes téglalapokkal, de nem az a fontos. Van egy tétel, amely szerint ha egy függvény Riemann integrálható (vagyis véges sok pont van csak, amin a függvény nem folytonos), akkor a Lebesgue integrál megegyezik a Riemann-nal, tehát lehet simán Riemann-nal kiszámolni a Lebesgue-t is.

A különbség a "csúnya" függvényeknel jön be, mint pl. a Dirichlet-függvény, ami 1 akkor, ha x ∈ Q , egyébként pedig 0. Ez nem Riemann integrálható. Ekkor mondjuk a [0, 1] intervallumon vett ∫ f(x) dµ Lebsgue integrál úgy alakul, hogy az egyik halmaz legyen mondjuk a [0, 1]-beli irracionálisok halmaza. Ennek a "téglalapja" 0 magas, úgyhogy ennek tuti 0 a "területe". A másik halmaz a racionálisok, ennek "téglalapja" 1 magas, és kérdés, hogy mennyi a "téglalap" vízszintesének a mértéke. Egy legfeljebb megszámlálható halmaznak a Lebesgue mértéke 0, ezért mivel Q ∩ [0, 1] megszámlálhatóan végtelen, ezért a mértéke 0, így a Lebesgue integrál értéke 0.