Mértani sorozat

Az az 5-ös véletlenül került oda?

Igazából mindegy is; megoldom általánosan, neked csak annyi dolgod lesz, hogy amit megadok betűt, annak helyére azt a számot írod, amit megadtak; legyen a megadott szám c (e helyére kell beírnod majd mindenhova), ekkor az általános képlet szerint

a₃=a₁*q², de azt mondták, hogy a sorozat harmadik tagja megegyezik a hányadossal, ami c, tehát:

c=a₁*c², c²-tel osztva 1/c=a₁ eredményt kapjuk.

Tehát van egy sorozatunk, ahol az első tag 1/c, a hányados c, így az összegképlet szerint:

Sn=(1/c)*(cn-1)/(c-1), ha c=1, akkor értelemszerűen a képlet nem használható, ekkor viszont az 1;1;1;1;... sorozatot kapjuk, innen látható, hogy a negyedik tagig az összeg 4, onnan nőni fog tovább (egyesével), tehát a 4. tagtól fog elég nagy lenni az összeg.

Ha c≠1, akkor azt szeretnénk, hogyha ez 3,8-nél nagyobb lenne, tehát:

(1/c)*(cn-1)/(c-1)>3,8, szorzunk (c-1)-gyel és c-vel, viszont itt két esetre kell bontanunk; első eset, hogy a nevező pozitív, vagyis c>1, ekkor büntetlenül szorozhatunk:

cn-1>3,8c*(c-1), hozzáadunk még 1-et:

cn>3,8c*(c-1)+1, vesszük mindkét oldal tetszőleges (én most 10-est fogok) alapú logaritmusát:

lg(cn)>lg(3,8c*(c-1)+1), a bal oldalon használjuk az azonosságot:

n*lg(c)>lg(3,8c*(c-1)+1), végül osztunk lg(c)-vel; mivel c>1, ezért lg(c) értéke biztosan pozitív, így osztással nem fordul a reláció:

n>lg(3,8c*(c-1)+1)/lg(c), a megoldást úgy kapjuk, hogy a jobb oldal értékét kiszámoljuk, és felfelé kerekítjük (felső egészrészét vesszük), így az egyenlőtlenség és a feladat megoldása:

n≥[lg(3,8c*(c-1)+1)/lg(c)], ahol [] jelöli a felfelé kerekítést.

Másik eset, hogyha 0<c<1 (gondolom az adott szám pozitív volt), ekkor a nevező negatív lesz, így szorzásnál fordul a reláció:

cn-1<3,8c*(c-1), hozzáadunk még 1-et:

cn<3,8c*(c-1)+1, vesszük mindkét oldal tetszőleges (én most 10-est fogok) alapú logaritmusát:

lg(cn)<lg(3,8c*(c-1)+1), a bal oldalon használjuk az azonosságot:

n*lg(c)<lg(3,8c*(c-1)+1), végül osztunk lg(c)-vel; mivel 0<c<1, ezért lg(c) értéke biztosan negatív, így osztással fordul a reláció:

n>lg(3,8c*(c-1)+1)/lg(c), a megoldást úgy kapjuk, hogy a jobb oldal értékét kiszámoljuk, és felfelé kerekítjük (felső egészrészét vesszük), így az egyenlőtlenség és a feladat megoldása:

n≥[lg(3,8c*(c-1)+1)/lg(c)], ahol [] jelöli a felfelé kerekítést. Ugyanazt kaptuk itt is eredménynek, viszont a logika szabályai szerint ezt az utat is meg kellett néznünk.

Ha leírod rendesen, hogy mi az adott szám, akkor azzal is leírom a megoldást.

Ebben az esetben:

a₃=a₁*q², vagyis

1/2=a₁*(1/2)², vagyis 2=a₁, tehát a sorozat első tagja 2, hányadosa 1/2. Az összegképlet szerint:

Sn=a₁*(qⁿ-1)/(q-1), tehát

Sn=2*((1/2)ⁿ-1)/((1/2)-1)=-4*((1/2)ⁿ-1), ennek kell többnek lennie 3,8-nél:

-4*((1/2)ⁿ-1)>3,8, osztunk (-4)-gyel, fordul a reláció:

(1/2)ⁿ-1<-0,95, hozzáadunk 1-et:

(1/2)ⁿ<0,05, vesszük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát és használjuk a megfelelő azonosságot:

n*lg(1/2)<lg(0,05), osztunk lg(1/2)-del, ez egy negatív szám, ezért fordul a reláció:

n>lg(0,05)/lg(1/2)=~4,32, tehát az egyenlőtlenség megoldása: n≥5. Ellenőrzés:

S₄=2*((1/2)⁴-1)/((1/2)-1)=3,75, ez még nem elég

S₅=2*((1/2)⁵-1)/((1/2)-1)=3,875, ez már elég, értelemszerűen ennél több tagot véve az összeg csak nőni fog, tehát az 5. tagtól kezdve az összeg mindig nagyobb lesz 3,8-nél.