Ha az egész számok halmazán akarjuk megoldani, akkor bontsuk prímtényezőkre:

27=3*3*3=3³, ez pont megfelel xx-nek, tehát x=3 a megoldása. Az xx függvényről azt kell tudni, hogy ha x≥1 akkor szigorúan monoton növő, tehát ezen az intervallumon nem lesz több megoldása, ha pedig 0<x<1, akkor 1-nél kisebb értékeket vesz csak fel, tehát itt sem lesz megoldása az egyenletnek, tehát a valós számok halmazán csak 1 megoldása van, amit meg is találtunk.

x=log(27)/W(log(27))

Általános megoldás nincs, csak közelítő módszerek vannak; például ha az

xx=28 egyenletet szeretnénk megoldani, akkor amiatt, mert a függvény szigorúan monoton x>1 esetén, ezért kiválaszthatunk két x-értéket, például

x=3, ekkor xx=3³=27 és x=3,1, tehát xx=3,13,1=~33,36, és mivel 27<28<33,36, ezért azt mondhatjuk, hogy az egyenlet megoldása valahol a [3;3,1] intervallumon van. Vegyük a két szám számtani közepét, ez 3,05, itt a függvényérték 3,053,05=~30, 27<28<30, ezért azt mondhatjuk, hogy a megoldás valahol a [3;3,05] intervallumon van.

Ezt a felezgetést csinálhatjuk a végtelenségig, illetve addig, amíg megfelelő közelségbe nem kerülünk a megoldáshoz. Pontos eredményt nem fog adni, de tetszőlegesen közel kerülhetünk hozzá.

Fontos, hogy jó kiindulóértékeket válasszunk, mivel akkor a vizsgálat nagyságrendekkel csökkenthető, például vehettük volna az x=1-et és az x=100-at is, csak akkor sokkal több lépéssel jutunk el a 3-hoz közeli értékhez.

Ezt a módszert iterációnak vagy iterálásnak nevezzük.

Természetesen vannak más közelítő módszerek is, de talán ez a legegyszerűbb.

Az, hogy általános megoldása nincs, az csak olyan szinten igaz, mint hogy egy sin x = 0,123 egyenletnek sincs általános megoldása, csak közelítő.
Szóval csak azt akarom mondani, hogy mihelyt definiálunk egy megfelelő függvényt (mondjuk az előzőre az arcsin(y) függvényt), akkor már lesz "általános" megoldása.

Az olyasmi egyenletekkel, mint amit te is kérdezel, egy Lambert nevű matematikus foglalkozott vagy 250 éve, aztán Euler ezt továbbvitte, végül nem is nagyon régen definiáltak egy W nevű függvényt , amit Lambert tiszteletére Lambert-féle W függvénynek neveztek el. Kézi számológépekbe még nem biztos, hogy belerakták, de implementálva van olyan programokban, mint a Mathematica, Maple, Matlab, Python, Perl, stb.

Ha érdekel a téma, olvass utána mondjuk a Wikipédián, egész jó cikk van róla:
https://hu.wikipedia.org/wiki/Lambert-f%C3%A9le_W_f%C3%BCggv%C3%A9ny
vagy angolul még bővebben:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function
Az xx=27 feladatod levezetése itt van:
https://hu.wikipedia.org/wiki/Lambert-f%C3%A9le_W_f%C3%BCggv%C3%A9ny#2._p.C3.A9lda

Jópofa dolog ez a W függvény, ha szereted a matekot, érdemes elmélyedni kicsit benne