Hmm...
Minden további magyarázat nélkül, ha megfigyeled ezt a tizedes törtet...
0.411764705882352941176470588235294117647058823529411764705
Látható, hogy a 4117647058823529 számjegyek ismétlődnek egymás után.
Ez 16 db számjegy, ha 2010-et keressük 2000-ben megvan a 16 pontosan 125-ször, tehát marad még 10 db számjegy, amit ha megnézünk pont a 8-as.
Ha már meg kellene indokolni, hogy miért így ismétlődik, egy sokkal komolyabb problémával állnánk szemben, de így egyszerűen látható, hogy miért a 8-as.
Tehát úgy fog kinézni a szám, hogy 0, aztán 4117647058823529 számsor pontosan 125-ször, aztán 4117647058... és a 8-as a 2010. Remélem érthető volt

Addig osztunk, amíg ugyanazt az osztást el nem kell végeznünk, amit már egyszer megcsináltunk, akkor kapjuk meg azt a számsort, ami ismétlődni fog:

7/17=0,(4117647058823529), a zárójeles rész fog ismétlődni. Ez egy 16 hosszú számsor, tehát ha egy adott számtól elindulunk, és annak a sorszámához hozzáadunk 16-okat, akkor az így kapott szám azt a sorszámot jelöli, ahol ugyanaz a számjegy áll, például az első helyen 4 áll, a 17. helyen is 44-es fog állni, ezután a 33. helyen, és így tovább. Az 5. helyen 6-os áll, ugyanez a szám fog állni a 22., a 38., a ... helyen is.

Ennek tudatában már csak az a kérdés, hogy melyik sorszámhoz kell sokszor 16-ot hozzáadni, hogy 2010-et kapjunk, erre a választ úgy kapjuk meg, hogy a 2010-et elosztjuk 16-tal maradékosan:

2010:16=125, maradék a 10, tehát 2010=10+125*16, tehát a 10. helyen álló szám fog megjelenni a 2010. helyen, ami a 8-as. Azt is meg tudjuk mondani, hogy a 126. ciklusban szerepel ez a sorszám.

(ciklus: ami ismétlődik).