Ha jól értem, akkor az [x5] szám négyzete felírható [a(a+1)25] alakban. Lévén adtál rá 2 ellenpéldát is, ezzel bizonyítottad, hogy az állítás hamis, így inkább azt gondolom, hogy ez egy megoldandó feladat; mit írjunk a négyzet helyére, hogy ilyen alakú számot kapjunk?

Érdemes elindulni a már sokat látott módon; tegyük fel, hogy x-et írunk, ekkor a szám felírható 10x+5 alakban, ennek a négyzete: 100x²+100x+25. A megoldást [a(a+1)25] alakban keressük, ami felírható 1000a+100(a+1)+25=1000a+100a+100+25=1100a+125 alakban, értelemszerűen ezeknek egyenlőknek kell lenniük, tehát:

100x²+100x+25=1100a+125, kivonunk 25-öt:

100x²+100x=1100a+100, osztunk 100-zal
x²+x=11a+1, kiemelünk x-et:

x*(x+1)=11a+1, a bal oldalon két egymást követő szám szorzata van, így az biztosan páros, ezért a jobb oldalnak is párosnak kell lennie; 1 páratlan, ezért 11a-nak páratlannak kell lennie, és mivel 11 páratlan, ezért a-nak is páratlannak kell lennie, tehát lehetséges értékei: 1;3;5;7;9, tehát a jobb oldal lehetséges értékei: 12, 34, 56, 78, 9-re túl sokat kapnánk. Most azt kell megnézni, hogy ezek közül melyik írható fel két egymást követő szám szorzataként, ekkor azt kapjuk, hogy

12=3*4, tehát x=3
56=7*8, tehát x=7

Ebből következően 2 olyan szám van, aminek négyzete a megadott alakban áll fel:

35²=1225
75²=5625, más megoldás nincs.

Sokkal hamarabb eredményhez jutottunk volna, ha felírjuk az összes (9) esetet:

15²=225, nem
25²=625, nem
35²=1225, igen
45²=2025, nem
55²=3025, nem
65²=4225, nem
75²=5625, igen
85²=7225, nem
95²=9025, nem