Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Nevezetes pontok

758
Sziasztok! Segítene valaki megoldani a feladatot?
Számoljuk ki az ABC háromszög magasságpontját, súlypontját, felezőpontját, valamint a háromszög köré írt kör középpontjának koordinátáit , ha A(-5; -3) B(7;1) C(2;6)
Köszönöm a segítséget előre is! :)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Szia! Én nem tudom megoldani, de tudok segiteni gyakorolni :)
Ittvann egy weboldal itt tudsz gyakorolni.

http://samubps.edu.rs/index.php?grp=540321

0

Magasságpont: a magasságvonalak metszéspontja. A magasságvonalak merőlegesek az oldalakra, és a háromszög harmadik csúcsán mennek keresztül.

Először vegyük az AB oldal magasságvonalát; az AB→ vektor (12;4), ez merőleges a keresett egyenesre, tehát annak normálvektora lesz, az egyenes a C ponton megy át, így az egyenlete:

12x+4y=12*2+4*6=48, tehát 12x+4y=48, esetleg lehet osztani 4-gyel: 3x+y=12

Most vegyük a BC oldalt; a fenti analógiát követve: BC→(-5;5), ez normálvektora az egyenesnek, ami az A ponton meg át, így:

-5x+5y=-5*(-5)+5*(-3)=10, (-5)-tel oszthatunk: x-y=-2

A két egyenes metszéspontját keressük, tehát azok egyenleteit egyenletrendszerbe foglaljuk:

3x+y=12 }
x-y=-2 }, összeadva a két egyenletet kiesik y:

4x=10, vagyis x=2,5, ezt beírjuk valamelyik egyenletbe, én a másodikba fogom, azzal egyszerűbb számolni: 2,5-y=-2, tehát y=4,5, így a magasságpont koordinátái: (2,5;4,5).

A súlypontra két számítási módot is mutatok; a koordináták megfelelnek a csúcsok koordinátáinak számtani közepével, tehát:

(-5+7+2)/3=4/3 a súlypont első koordinátája
(-3+1+6)/3=4/3 a súlypont második koordinátája, így a súlypont a (4/3;4/3) pont.

A másik lehetőség, hogy kiválasztjuk az egyik csúcsot, most az A-t, és kiszámoljuk az ezzel szemközti oldal, vagyis BC felezőpontját: F(4,5;3,5), ezután kiszámoljuk az AF→ vektort: (9,5;6,5). Tudjuk, hogy a súlypont a súlyvonalat 1:2 arányban osztja, ahol az 1 rész az oldalaktól mért rész, tehát a csúcsoktól 2 részre van, tehát a csúcs és a súlyvonal közti szakasz a súlyvonal 2/3 részre, ugyanez igaz a vektorára is, vagyis az A pontból a (2/3)*AF→=(19/3;13/3) vektor mutat. Innen a súlypontot úgy kapjuk meg, hogy az A pont koordinátáihoz hozzáadjuk a vektor koordinátáit, így jön ki a (4/3;4/3) pont a súlypontnak.

A háromszög köré írt körének középpontja az oldalfelező merőleges egyenesek metszéspontjában van. Először vegyük az AB oldalt, az erre fekvő vektort már kiszámoltuk: (12;4), ez merőleges az egyenesre, amit keresünk, így normálvektor lesz. Mint ahogy a neve is mutatja, az egyenes az oldal felezőpontján megy keresztül, ami itt (1;-1), így már minden adott, hogy felírjuk az egyenletét: 12x+4y=12*1+4*(-1)=8, vagyis 12x+4y=8, oszthatunk 4-gyel: 3x+y=2.

Vegyük most a BC oldalt: BC→(-5;5), felezőpont: (4,5;3,5), így az egyenes egyenlete:

-5x+5y=-5*4,5+5*3,5=-5, oszthatunk (-5)-tel: x-y=1

Így már adott két egyenes, amiknek a metszéspontjára van szükségünk, tehát egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

3x+y=2 }
x-y=1 }, összeadjuk a két egyenletet: 4x=3, tehát x=0,75, ebből y=-0,25 adódik, tehát a köré írt kör középpontja az (0,75;-0,25) pont.
0