Exponenciális egyenlet

Szerintem ennyiből megérted:

Ha jól értem, ez akar a feladat lenni:

8x+1 + 4*53x+2 = 125x+1 + 23x+2

Ebben az esetben használjuk a hatványozás azonosságait:

8x+1=8*8x=8*(2³)x=8*23x

53x+2=5²*53x=25*53x

125x+1=125*125x

23x+2=2²*23x=4*23x

Tehát az egyenletből ez lesz:

8*23x + 4*25*53x = 125*125x + 4*23x, összevonunk és kivonunk 4*23x-nt:

4*23x + 100*53x = 125*125x, kivonunk 100*53x-nt:

4*23x = 25*125x, osztunk 25-tel és 23x-nt:

4/25=125x/23x

Észrevehetjük, hogy 2 és 5 hatványai szerepelnek, írjuk át azokat arra:

4/25=2²/5², ez a hatványozás azonosságai miatt átírható (2/5)² alakra.

125x/23x=(5³)x/23x, ebből pedig (5/2)3x lesz, tehát:

(2/5)²=(5/2)3x

Ez már majdnem jó, csak még egy dolgot kell megtennünk; tudjuk, hogy 2/5 az 5/2-nek a reciproka, tehát (2/5)=(5/2)-1, így:

((5/2)-1)²=(5/2)3x, ebből

(5/2)-2=(5/2)3x lesz.

Ezzel két azonos alapú hatványunk van, melyek az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt akkor egyenlőek, hogyha a kitevők egyenlők, tehát:

-2=3x, erre -2/3=x eredményt kapjuk.

Érdemes WolframAlphával ellenőrizni, de manuálisan is megoldható (ha időnk, mint a tenger):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(8%5E(x%2B1))+%2B+4+*+(5%5E(3x%2B2))+%3D+(125%5E(x%2B1))+%2B+(2%5E(3x%2B2))

Tehát jól számoltunk.