Tudjuk, hogy 3 pont egyértelműen meghatároz egy másodfokú polinomot, ezért érdemes a következő módon eljárni; adjunk meg egy olyan másodfokú, egész együtthatós polinomot, melynek együtthatóiból kiolvasható a kód, például 48x²+96x+52, ezt a polinomot egyik igazgató sem ismeri, viszont tudják, hogy létezik egy másodfokú polinom, melynek együtthatóiból kiolvasható a kód. Mindegyik igazgató kap egy sorszámot és a sorszámhoz tartozó helyettesítési értéket.

A számítás a következőképp történik; tudják, hogy Ax²+Bx+C alakban felírható a polinom. Legyenek a kiosztott sorszámok 1;2;3, az ezekhez tartozó helyettesítési értékek 196;436;772, ezek alapján fel tudnak írni 3 egyenletet:

A*1²+B*1+C=196
A*2²+B*2+C=436
A*3²+B*3+C=772, értelemszerűen ezeknek egyszerre kell teljesülniük, tehát egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

A+B+C=196 }
4A+2B+C=436 }
9A+3B+C=772 }, ezzel egy három ismeretlenes, három egyenletből álló lineáris egyenletrendszert kaptunk, amit meg tudunk oldani különböző módokon, a legkézenfekvőbb ebben az esetben az, hogy az első egyenletet kivonjuk a másik kettőből, ekkor C kiesik:
3A+B=240 }
8A+2B=576 }, szorozzuk az első egyenletet 2-vel, majd kivonjuk egymásból a két egyenletet:

2A=96, erre A=48 adódik, ezt beírjuk a kétismeretlenes egyenletrendszer első egyenletébe:

3*48+B=240, tehát B=96, ezeket az első egyenletbe érdemes beírni:

48+96+C=196, erre C=52 adódik.

Tehát a keresett polinom a 48x²+96x+52, a kód pedig: 489652. nagyobb számokkal ugyanígy működik a számítás, de értelemszerűen nagyobb számokkal is kell számolni.

Kevesebb emberrel nem megoldható, mert akkor olyan lineáris egyenletrendszert kapnak, hogy több ismeretlen van, mint egyenlet, így annak végtelen sok megoldása lesz, több emberre pedig így is, úgy is működni fog, mivel ha több egyenlet van, mint ismeretlen, az nem befolyásolja az egyenletrendszer megoldását.

De, jól érted, de, ahogy a feladat is mondja, legalább 3 ember összefogásával ki kell derülnie a kódnak. Ha minden embernek adunk 1 sorszámot és az ahhoz tartozó helyettesítési értéket, akkor bármelyik 3-at kiválasztva a fenti módszerrel ki tudják számolni a polinomot, amiből pedig a kódot.

Ha csak 1 ember lenne, például akinek az (1;196)-ot adtuk, akkor az egyenlet így nézne ki:

A*1²+B*1+C=196, vagyis A+B+C=196. Értelemszerűen ennek nem, hogy nincs egyértelmű megoldása, hanem végtelen sok megoldása van, bár a természetes számok halmazán véges sok van, mindenesetre a kódot egyedül nem tudja kiszámolni.

Ha két ember van, akiknek például az (1;196)-ot és a (2;436)-ot adtuk, akkor ez jön ki:

A+B+C=196 }
4A+2B+C=436 }, itt 2 egyenlet és 3 ismeretlen van, amiről tudjuk, hogy végtelen sok megoldása van, de ha esetleg ezt nem tudnánk, akkor elég hamar kiderül, miután kivontuk egymásból az egyenleteket:

3A+B=240, ennek már tudjuk, végtelen sok (vagy legalábbis nem egyértelmű) megoldása van.

Így látható, hogy 3-nál kevesebb ember nem tud mit kezdeni, 3 ember pedig pont elég lesz. Ha 3-nál több ember akarja a kódot megtudni, akkor sincs probléma, mivel a fent írtak szerint 3 pont meghatároz egy parabolát, ha mind a 4-5-6-... pont a paraboláról van (és tudjuk, hogy onnan van, mivel arról választottuk meg az értékeket), akkor a kapott lineáris egyenletrendszernek is egyértelmű megoldása lesz.

Ez a koncepció bármennyi (legalább 3) igazgatóval működik, nem is fontos, hogy 10-en vannak (talán annyiban, hogy ha kevesebb igazgató lenne, akkor köztük az adott kód töredékeit szét lehetne osztani a megfelelő módon, így arra lényegesen egyszerűbb megoldás lenne, de a polinomos megoldás akkor is működne).