Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Ezt hogy kell bizonyÍtani?
kapesmate
kérdése
353
Tegyük fel, hogy valamely a vektor előáll az a1,a2,...an vektorok lineáris kombinációjaként. Ez akkor és csak akkor egyértelmű, ha az a1,a2,...an vektorok lineárisan függetlenek.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, házi, vektor, lineáris, kombináció, vektortér, bázis, független, összefüggő, Transzformáció
matek, házi, vektor, lineáris, kombináció, vektortér, bázis, független, összefüggő, Transzformáció
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
a = λ₁·a₁ + λ₂·a₂ + ... + λn·an
Egyik irány: (akkor egyértelmű, ha lin.fgtln.)
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, vagyis létezik egy µ₁, µ₂,...,µn szám n-es, amivel szintén 'a' jön ki:
a = λ₁·a₁ + λ₂·a₂ + ... + λn·an = µ₁·a₁ + µ₂·a₂ + ... + µn·an
(λ₁-µ₁)·a₁ + (λ₂-µ₂)a₂ + ... + (λn-µn)·an = 0
Ebből pedig következik, hogy λ₁-µ₁ = 0, stb., vagyis λ=µ. Ellentmondás.
Másik irány: (csak akkor egyértelmű, ha lin.fgtln)
Tegyük fel, hogy nem függetlenek, mégis egyértelmű a felbontás.
Vagyis Σβᵢ·aᵢ = 0 úgy, hogy βᵢ nem csupa nulla.
Ekkor a = a + 0 = (λ₁+β₁)a₁ + (λ₂+β₂)a₂ + ... + (λn+βn)an
Mivel β₁ nem csupa nulla, ez egy másik felbontás lenne, ellentmondás.
Egyik irány: (akkor egyértelmű, ha lin.fgtln.)
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, vagyis létezik egy µ₁, µ₂,...,µn szám n-es, amivel szintén 'a' jön ki:
a = λ₁·a₁ + λ₂·a₂ + ... + λn·an = µ₁·a₁ + µ₂·a₂ + ... + µn·an
(λ₁-µ₁)·a₁ + (λ₂-µ₂)a₂ + ... + (λn-µn)·an = 0
Ebből pedig következik, hogy λ₁-µ₁ = 0, stb., vagyis λ=µ. Ellentmondás.
Másik irány: (csak akkor egyértelmű, ha lin.fgtln)
Tegyük fel, hogy nem függetlenek, mégis egyértelmű a felbontás.
Vagyis Σβᵢ·aᵢ = 0 úgy, hogy βᵢ nem csupa nulla.
Ekkor a = a + 0 = (λ₁+β₁)a₁ + (λ₂+β₂)a₂ + ... + (λn+βn)an
Mivel β₁ nem csupa nulla, ez egy másik felbontás lenne, ellentmondás.
1
- Még nem érkezett komment!