Szia!

Nem oldom meg az egészet, de adok egy kis segítséget!
A feladat szerint 3k+2 nem négyzetszám. Ha az lenne akkor fe lehetne írni a következő formában:
3k-2=x2
3k=x2-2
k-nak és x-nek egésznek kéne lenni, hogy ez megtörténjen.
Na most a 3-mal oszthatóság szempontjából x háromféle szám lehet:
a, Ha x 3-mal osztható, felírható így: x=3p (ahol p szintén egész szám), ebben az esetben x2=9p2, és x2-2=9p2-2. Azt könnyen beláthatjuk, hogy 9p2 osztható 3-mal viszont akkor ha elveszek belőle 2-t már nem lesz az. Ezzel bizonyítottuk, hogy ha x osztható 3-mal az x2-2 nem lesz az.
b, Ha x 3-mal osztva 1-et ad maradékul, akkor felírható így: x=3p+1 és x2=(3p+1)2=9p2+6p+1 és ekkor x2-2=9p2+6p-1. 9p2 és a 6p biztos oszthatóak 3-mal, akkor ha elveszek belöle 1-et már nem lesz az. Ezzel kizártuk hogy ha x 3-mal osztva 1-et ad maradékul igaz legyen a x2-2 osztható 3-mal állítást.
c, Ha x 3-mal osztva 2-t ad maradékul, akkor felírható így: x=3p+2 és x2=(3p+2)2=9p2+12p+4 és ekkor x2-2=9p2+12p+2. 9p2 és a 12p biztos oszthatóak 3-mal, akkor ha hozzáadok 2-t már nem lesz az. Ezzel kizártuk hogy ha x 3-mal osztva 2-et ad maradékul igaz legyen a x2-2 osztható 3-mal állítást.
A többinél ugyanezzel az elvvel tudod bizonyítani az állításokat.