Melyik a feladat?

√ 36 √ 100-64 Szia!

Megpróbálom megoldani:
821a, 2-x=16 /a 16 2-nek a negyedik hatványa,ezért 2-x=24. Az alapok elhagyása után: -x=4, vagyis x=-4
821b, 2-x=-16 a feladatnak nincs megoldása, mert egy pozitív szám minden hatványa pozitív.
821c, 2-x>16 felhasználva az a-ban leírtat: 2-x>24, mivel az exponenciális függvény szigoroan monoton nő -x>4, ha eloxztom minusz eggyel a reláció is megfordul: x<-4.
822, 2x+1+8=2x+2, az ilyen típusú feladatoknál a hatványozás azonosságait használjuk. Ha a kitevőben összeadás van az két azonos alapú hatvány szorzását jelenti, ha kivonás van akkor két azonos alapú hatvány osztását. Ezért:
2x*21+8=2x[/hatvany*2[hatvany]2
kiszámolva a hatványokat:
2x*2+8=2x*4, ha a 2x helyett y lenne:
y*2+8=y*4, azaz 2y+8=4y /2y-t kivonva 8=2y, amiből 4=y
Vagyis 4=2x
22=2x az alapok elhagyása után: 2=x
Ellenőrzés: baloldal: 22+1+8=8+8=16, jobboldal 22+2=24=16
a két oldal eredménye ugyanannyi tehát x tényleg egyenlő 2-vel.
823a, 2x+3+3*2x-2=280, ismét szétbontjuk a hatványokat:
2x*23+3*2x/22=280 kiszámítva a hatványokat:
2x*8+3*2x/4=280 megint használjunk 2x helyett y-t:
y*2+3*y/4=280, a második tagban inkább a számot osszuk 4-gyel: y*8+3/4*y=280, egyszerűbben: 8y+3/4*y=280
3/4=0,75, ezért
8,75y=280 /8,75
y=32, vagyis 2x=32
2x=25 az alapok elhagyása után: x=5
Ellenőrzés: 25+3+3*25-2=28+3*23=256+3*8=256*24=280, ami a jobb oldalon is áll.
823b, 62x+4=2x+8*33x, ismét széntbontjuk a hatványokat:
62x*64=2x*28*33x kiszámítva a hatványokat:
62x*1296=2x*256*3x3x, ha a hatványban szorzás áll, akkor az egy hatványozása: (62)x*1296=2x*256*(33)x
36x*1296=2x*27x*256
36x*1296=54x*256 /osszunk 36x-nel
1296=(54x/36x)*256 /.256
1296:256=54x/36x azonos kitevőjű hatványok osztásakor a hányadost hatványozzuk:
1296/256=(54:36)x egyszerűsítve
81/16=(3/2)x 81=34 16=24, azaz:
(3/2)4=(3/2)x amiből
4=x
Ellenőrzés: baloldal: 62*4+4=612=2176782336
jobboldal: 24+8*33*4=212*312=4096*531441=2176782336
Vagyis a baloldal egyenlő a jobbal
823c, 4x+1+2*2x+1-8*2x=0 /hatványok bontása
4x*41+2*2x*21-8*2x=0
4x*4+2*2x*2-8*2x=0
4x*4+4*2x-8*2x=0 4x=(22)x, ahol a kitevők felcserélésével: (2x)2 lesz.
(2x)2*4+4*2x-8*2x=0 legyen 2x=y, akkor:
y2*4+4*y-8*y=0 egyszerűbben:
4y2-4y=0 4y-kiemelve:
4y*(y-1)=0 egy szorzat, akkor 0, ha valamelyik tényező 0, tehát vagy 4y=0, amiből y=0 vagy y-1=0, amiből y=1
visszatérve a 2x-hez
1. eset y=0 azaz: 2x=0 ennek nincs megoldása, mert pozitív szám hatványa mindig pozitív
2. eset y=1 azaz 2x=1, amiből x=0
Ellenőrzés: 40+1+2*20+1-8*20=4+2*2-8*1=4+4-8=0 ami a jobboldlon állt.
824a, 90,5x(négyzet)-3x+4=1/3 a 9 is és az 1/3 is 3-nak a hatványa 9=32, 1/3=3-1 ezeket behelyettesítve:
(32)0,5x(négyzet)-3x+4=3-1 a baloldalon hatványt hatványozunk, ami a kitevők szorzásának felel meg:
32*(0,5x(négyzet)-3x+4)=3-1 elhagyva az alapokat:
2*(0,5x2-3x+4)=-1
x2-6x+8=-1 /+1
x2-6x+9=0, jöhet a meoldóképlet is, de ez tulajdonképpen (x-3)2=0, ami csak akkor igaz, ha x=3
Ellenőrzés:
90,5*9-3*3+4=94,5-9+4=90,5=1/3, ami a jobboldalon áll
824b, 3x(négyzet)-4x+2=1/9 kezdésként alakítsuk át az 1/9-edet 3 hatványára 30/32=3-2 ezt visszaírva:
3x(négyzet)-4x+2=3-2 elhagyva az alapokat:
x2-4x+2=-2 /+2
x2-4x+4=0, jöhet a megoldóképlet is, de ez tulajdonképpen (x-2)2=0, ami csak akkor áll fenn, ha x=2
Ellenőrzés:
32(négyzet)-4*2+2=34-8+2=3-2=1/9, ami a jobboldalon áll
824c, 4x-10*2x=-16, 4x=(22)x, ahol kitevőt cserélve: (2x)2 visszaírva:
(2x)2-10*2x=-16 2x helyett használjunk y-t:
y2-10*y=-16 /+16
y2-10y+16=0, jöhet a megoldóképlet:
y1,2=(10±√ (-10)(négyzet)-4*1*16 )/2=(10±√ 100-64 )/2=(10±√ 36 )/2=(10±6)/2, amiből y1=16/2=8 és y2=4/2=2
Ha y=8, akkor 2x=8 vagyis 2x=23, amiből x=3
Ha y=2, akkor 2x=2 vagyis 2x=21, amiből x=1
Ellenőrzés:
Ha x=3: 43-10*23=64-10*8=64-80=-16, ami a jobboldal
Ha x=1 41-10*21=4-10*2=4-20=-16, ami a jobboldal

MÁRA ENNYI, HOLNAP FOLYTATOM!

825 32x-1+32x-2-32x-4=315 szétbontva a hatványokat:
32x/31+32x/32-32x/34=315 kiszámolva a hatványokat:
32x/3+32x/9-32x/81=315 közös nevezőre hozva a törteket:
27*32x/81+9*32x/81-32x/81=315 /*81
27*32x+9*32x-32x=25515 legyen 32x=y
27y+9y-y=25515
35y=25515 /:35
y=729 vagyis 32x=729 azaz 32x=36 elhagyva az alapokat:
2x=6, amiből x=3
Ellenőrzés:
32*3-1+32*3-2-32*3-4= 35+34-32=243+81-9=315 ami a jobb oldalon áll.
826 22x+1-3*2x+4=0 bontsuk a hatványt
22x*21-3*2x+4=0 kiszámolva a hatványt:
22x*2-3*2x+4=0 2x legyen y, akkor
y2*2-3*y+4=0 vagy egyszerűbben 2y2-3y+4=0 jöhet a megoldóképlet:
y1,2=(3±√ 3(négyzet)-4*2*4 )/4=(3±√ 9-32 )/4, azonben itt a gyök alatt -23 jött ki, ami miatt a feladatnak nincs megoldása.
827. 5x+2+2*5x-1=127 hatványok bontása:
5x*52+2*5x/51 kiszámolva a hatványokat:
5x*25+2*5x/5=127 /*5
125*5x+2*5x=635
127*5x=635 /:127
5x=5, amiből x=1
Ellenőrzés:
51+2+2*51-1=53+2*50=125+2*1=127, ami a jobb oldalon áll.
828. 9√ x+1 =36*3√ x+1  9=32, ezért: a baloldali kifejezés: (32)√ x+1 , kitevőcsere után: (3√ x+1 )2. Ezt visszaírva az egyenletbe:
(3√ x+1 )2=36*3√ x+1 
Legyen 3√ x+1 =y, akkor y2=729y /-729y
y2-729y=0, emeljünk ki y-t a hiányos másodfokú egyenletből: y(y-729)=0, egy szorzat csak akkor 0, ha valamelyik tényező 0. Tehát y=0 vagy y=729
Ha y=0, akkor 3√ x+1 =0, aminek nincs megoldása.
Ha y=729, akkor 3√ x+1 =729, azaz 3√ x+1 =36 az alapok elhagyása után √ x+1 =6 négyzetre emelve:
x+1=36, vagyis x=35.
829 5(2x-1)(x+3)=1, az 1-es minden számnak a 0. hatványa (kivéve a nullát), tehát:
5(2x-1)(x+3)=50, elhagyva az alapokat:
(2x-1)(x+3)=0 /zárójel felbontás
2x2+6x-x-3=0 /összevonás
2x2+5x-3=0 jöhet a megoldóképlet:
x1,2=(-5±√ 5(négyzet)-4*2*(-3) )/4=(-5±√ 25+24 )/4=(-5±√ 49 )/4=(-5±7)/4, amiből x1=2/4=0,5 és x2=-12/4=-3
Ellenőrzés:
Ha x=0,5 5(2*0,5-1)(0,5+3)=5(0)(3,5)=50=1 és
Ha x=-3 5(2*(-3)-1)(-3+3)=5(-7)(0)=50=1
830. 11x-2)=42x-4 a jobboldalon álló kitevőből ki tudunk emelni 2-t
11x-2=42(x-2) a kitevőben lévő szorzás hatvány hatványozásával egyenlő:
11x-2=(42)x-2 azaz
11x-2=16x-2 /:16x-2
11x-2/16x-2=1 azonos kitevőjű hatványok osztásako, a hányadost emeljük a közös kitevőre:
(11/16)x-2=1, mivel az 1 minden szám 0. hatványa (kivéve a 0-t)
(11/16)x-2=(11/16)0 az alapok elhagyása után:
x-2=0, vagyis x=2
Ellenőrzés:
112-2=42*2-4
110=40
1=1 ami egy azonosság

KÖSZÖNÖM A TÜRELMET!