Matek házi

Ha az eredmény szempontjából érdekes,eredetileg az oldalak összege méterben van megadva,csak átváltottam.

minden oldala 37cm mert a 37 primszám és a háromszorosa 111.

Tudjuk, hogy egy háromszög akkor szerkeszthető meg, hogyha bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Ezek alapján ha az egyik oldal 50 cm hosszú, akkor a másik két oldal összege 51 cm, ez még megvalósítható, viszont ha 51 cm hosszú a leghosszabb oldal, akkor a másik két oldal 50 cm, ez már nem lehet. Tehát a leghosszabb oldal legfeljebb 50 cm hosszú lehet.

Gyűjtsük ki 50-ig a prímszámokat: 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47, innen visszafelé gondolkodhatunk; ha a legnagyobb oldal 47 cm hosszú, akkor a másik két oldal hosszának összege 64 cm, így azt kell megnézni, hogy hogyan írható fel a 64 két prímszám összegeként, ezt úgy tudjuk megtenni, hogy sorban kivonogatjuk a prímszámokat, és ha az eredmény prímszám, akkor jók vagyunk:

64-47=17, ez prímszám, tehát a háromszög oldalai lehetnek 47;47;17 cm hosszúak
64-43=21, ez nem prímszám, mivel 21=7*3
64-41=23, ez jó lesz, tehát egy másik lehetséges megoldás: 47;47;23 cm
64-37=27, ez nem prímszám: 27=3*9
64-31=33, ez sem, mivel 33=3*11, ráadásul itt már átfordultunk, vagyis amit kivontunk, az kisebb, mint amit kaptunk, így felesleges tovább folytatni, mert csak azokat fogjuk visszakapni, amiket már egyszer megkaptunk.

Ha a legnagyobb oldal a 43, akkor a másik két oldal összege 68, nézzük, erre mit kaphatunk:
68-43=25, 25=5*5, nem jó
68-41=27, 27=3*9, ez sem jó
68-37=31, ez jó lesz, tehát a háromszög oldalai lehetnek 43;37;31 cm-esek
68-31=37, azt kaptuk, amit az előbb

2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47

Ha a legnagyobb oldal a 41, akkor a másik két oldal összege 70, ekkor:

70-41=29, 29 prímszám, így lehet a három oldal: 41;41;29 cm
70-37=33, 33=3*11, nem prím
70-31=39, 39=3*13, ez sem
70-29=41, ez pedig már volt.

Ha a legnagyobb oldal a 37, akkor a másik két oldal hossza 74, ekkor:

74-37=37, ez prímszám, tehát a három lehetséges oldal: 37;37;37 cm, tovább nem mehetünk, mivel ha kisebb számot vonunk ki, akkor 37-nél nagyobb számot kapnánk 37-nél, már pedig 37-et jelöltük ki a legnagyobbnak. Ebből ez is kiderül, hogy 37-nél nem lehet kisebb a legnagyobb oldal, mivel ha például 31 lenne a leghosszabb oldal, akkor a háromszög kerülete legfeljebb 3*31=93 cm lenne, ez pedig kevesebb, mint 111 cm, így a leghosszabb oldal nem lehet 31-nél kevesebb, tehát minden megoldást megtaláltunk.